高二数学圆与圆的位置关系教案.docx
- 文档编号:12477163
- 上传时间:2023-04-19
- 格式:DOCX
- 页数:48
- 大小:226.68KB
高二数学圆与圆的位置关系教案.docx
《高二数学圆与圆的位置关系教案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高二数学圆与圆的位置关系教案.docx(48页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高二数学圆与圆的位置关系教案
2019-2020年高二数学圆与圆的位置关系教案
一、教学目标
1、知识与技能
(1)理解圆与圆的位置的种类;
(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;
(3)会用连心线长判断两圆的位置关系.
2、过程与方法
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,圆与圆相离;
(2)当时,圆与圆外切;
(3)当时,圆与圆相交;
(4)当时,圆与圆内切;
(5)当时,圆与圆内含;
3、情态与价值观
让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生数形结合的思想.
二、教学重点、难点:
重点与难点:
用坐标法判断圆与圆的位置关系.
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1.初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几类?
结合学生已有知识以验,启发学生思考,激发学生学习兴趣.
教师引导学生回忆、举例,并对学生活动进行评价;学生回顾知识点时,可互相交流.
2.判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗?
引导学生明确两圆的位置关系,并发现判断和解决两圆的位置
教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.
问题
设计意图
师生活动
关系的方法.
学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.
3.例3
你能根据题目,在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗?
你从中发现了什么?
培养学生“数形结合”的意识.
教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.
4.根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢?
进一步培养学生解决问题、分析问题的能力.
利用判别式来探求两圆的位置关系.
师:
启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.
生:
观察图形,并通过思考,指出两圆的交点,可以转化为两个圆的方程联立方程组后是否有实数根,进而利用判别式求解.
5.从上面你所画出的图形,你能发现解决两个圆的位置的其它方法吗?
进一步激发学生探求新知的精神,培养学生
师:
指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.
生:
互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.
6.如何判断两个圆的位置关系呢?
从具体到一般地总结判断两个圆的位置关系的一般方法.
师:
对于两个圆的方程,我们应当如何判断它们的位置关系呢?
引导学生讨论、交流,说出各自的想法,并进行分析、评价,补充完善判断两个圆的位置关系的方法.
7.阅读例3的两种解法,解决第137页的练习题.
巩固方法,并培养学生解决问题的能力.
师:
指导学生完成练习题.
生:
阅读教科书的例3,并完成第137页的练习题.
问题
设计意图
师生活动
8.若将两个圆的方程相减,你发现了什么?
得出两个圆的相交弦所在直线的方程.
师:
引导并启发学生相交弦所在直线的方程的求法.
生:
通过判断、分析,得出相交弦所在直线的方程.
9.两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢?
进一步验证相交弦的方程.
师:
引导学生验证结论.
生:
互相讨论、交流,验证结论.
10.课堂小结:
教师提出下列问题让学生思考:
(1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么?
(2)判断两个圆的位置关系有几种方法?
它们的特点是什么?
(3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系?
作业:
习题4.2A组:
4、7.
2019-2020年高二数学圆的一般方程人教版
教学目标
(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
(2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.
(3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题.
教学重点和难点
重点:
圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F.
难点:
圆系的理解和应用.
教学过程设计
(一)教师讲授:
请同学们看出圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径r.
把圆的标准方程展开,并整理:
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
我们把它看成下面的形式:
x2+y2+Dx+Ey+F=0①
这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示的曲线是圆.
②
(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆?
(1)当D2+E2-4F>0时,方程②表示
(2)当D2+E2-4F=0时,方程②表示
(3)当D2+E2-4F<0时,方程②不表示任何图形
∴当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
做圆的一般方程.
现在我们来看圆的一般方程的特点:
(启发学生归纳)
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
同学们不难发现,x2和y2的系数相同,不等于0.且没有xy这样的二次项,是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件.但不是充分条件.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(二)研究问题1,求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
[解法一]设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.
把已知三点的坐标代入,得三个方程,解这三个方程组成的方程组
∴所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.
[解法二]先求OM1和OM2的中垂线:
y-1=(-2)(x-2)2x+y=5
∴所求圆的方程为,(x-4)2+(y+3)2=25.
[分析]设动点M(x,y),|MO|、|MA|都可表示出.
解设曲线上的动点为M(x,y).
化简得x2+y2+2x-3=0
配方(x+1)2+y2=4.
∴所求的轨迹是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.
研究问题3,自P0(x0,y0)作圆x2+y2=r2的两切线,切点分别为P1、P2,求证:
P1P2所在直线的方程为x0x+y0y=r2.
[分析]自P0(x0,y0)作图x2+y2=r2的两切线,切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标,则运动量是非常大的.为此我们要研究较简单的办法.
P0P1、P0P2是圆O的两条切线,∠OP1P0=∠OP2P0=90°,则O、P1、P0、P2四点共圆,P1、P2为两个圆的交点,为此我们从两个圆的交点入手.
即x2+y2-x0x-y0y=0.
把
(2)代入
(1):
x0x+y0y=r2.
∴P1P2所在直线的方程为x0x+y0y=r2.
这里同学们可能有点不太明白,为什么由方程
(1)和
(2)变出的关系式x0x+y0y=r2就是过两圆交点的直线.
请同学们回忆一下,我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时,研究过这样一个定理.(课本复习题七,24题)“两条曲线的方程是f1(x,y)=0,和f2(x,y)=0,它们的交点是P(x0,y0).求证:
方程f1(x,y)+λf2(x,y)=0的曲线也经过点P,这里λ是任意实数”.
根据这一定理,(x2+y2-x0x-y0y)+λ(x2+y2-r2)=0.表示过两圆交点的曲线,为了消去x2,y2项,我们取λ=-1,得曲线方程,x0x+y0y=r2,实际上是直线x0x+y0y=r2.就是说,直线x0x+y0y=r2过两圆的交点.
通过这个题,我们有下面一般的结论:
如果圆C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0,和圆C2:
x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交.
(1)当λ≠-1时,方程(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆.
(2)当λ=-1时,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线.
这点的证明留给同学们课后去思考,而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用.应当注意的是:
方程(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0中由于λ取值的不同,得到不同的圆,这无数个圆形成一个集合,这个集合我们把它叫做一个圆系.这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合.
(三)学生课堂练习
1.课本练习题1
(1)点(0,0).
2.课本练习题2.
(1)圆心为(3,0),半径为3;
(2)圆心为(0,-b),半径为|b|.
3.课本练习题3.
(四)作业
习题7.75,6,7,8
二
教学目标
1.讨论并掌握圆的一般方程的特点,并能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆心的坐标和半径.
2.通过对圆的一般方程的特点的讨论,培养学生严密的逻辑思维和严谨的科学态度;通过例题的分析讲解,培养学生分析问题的能力.
教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点;根据具体条件选用圆的方程为教学难点.
教学过程
一、复习并引入新课
师:
请大家说出圆心在点(a,b),且半径是r的圆的方程.
生:
(x-a)2+(y-b)2=r2.
师:
以前学习过直线,直线方程有哪几种?
生:
直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.
师:
直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗?
生A:
是的.
生B:
缺少条件A2+B3≠0.
师:
好!
那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢?
(书写课题:
“圆的一般方程”的探求)
二、新课
师:
圆是否有一般方程?
这是个未解决的问题,我们来探求一下.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式,两点式……)展开整理而得到的.想求圆的一般方程,怎么办?
生:
可仿照直线方程试一试!
把标准形式展开,整理得
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.令D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,有:
x2+y2+Dx+Ey+F=0.(*)
师:
从(*)式的得来过程可知,只要是圆的方程就可以写成(*)的形式.那么能否下结论:
x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程?
生A:
不一定.还得考虑:
x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式.
生B:
也可以像直线方程一样,要有一定条件.
师:
那么考虑考虑怎样去寻找条件?
生:
配方.
师;请大家动手做,看看能否配成标准形式?
(放手让同学讨论,教师适当指导,然后由同学说,教师板书.)
1.当D2+E2-4F>0时,比较(△)式和圆的标准方程知:
(*)式表示以
3.当D2+E2-4F<0时,(*)式没有实数解,因而它不表示任何图形.
教师总结:
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程.
师:
圆的一般方程有什么特点?
生A:
是关于x、y的二元二次方程.
师:
刚才生A的说法对吗?
生B:
不全对.它是关于x、y的特殊的二元二次方程.
师:
特殊在什么地方?
(通过争论与举反例后,由教师总结)
师:
1.x2,y2系数相同,且不等于零.
2.没有xy这样的二次项.
(追问):
这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件?
生:
必要条件.
师:
还缺什么?
生:
D2+E2-4F>0.
练习:
判断以下方程是否是圆的方程:
①x2+y2-2x+4y-4=0
②2x2+2y2-12x+4y=0
③x2+2y2-6x+4y-1=0
④x2+y2-12x+6y+50=0
⑤x2+y2-3xy+2y+5y=0
⑥x2+y2-12x+6y+F=0
三、应用举例
师:
先请大家比较一下圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点?
生:
标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径;一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程.
师:
怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径.
生B:
不用死记,配方即可.
师:
两种形式的方程各有特点,我们应对具体情况作具体分析、选择.
例1求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求圆心和半径.
分析标准方程需定a,b,r;一般方程需定:
D,E,F,显然在没有告诉半径或圆心的情况下选一般方程,解D,E,F时较为简单.
解法:
设出一般方程,用待定系数法.
例2一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆方程.
解法一设出一般方程,用待定系数法.(由三角形性质知:
顶点为(0,5))
解法二设出标准式x2+(y-b)2=r2.(由三角形性质知:
顶点为(0,5),且圆心在y轴上).
四、小结
注意一般式的特点:
1°x2,y2系数相等且不为零;2°没有xy这样的项;
3°D2+E2-4F>0.
另外,大家考虑:
D2+E2-4F有点像什么?
像判别式,它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式.如D、E确定了,则与F的变化有关.
五、作业:
1.求下列各圆的一般方程:
①过点A(5,1),圆心在点C(8,-3);
②过三点A(-1,5),B(5,5),C(6,-2).
2.求下列各圆的圆心坐标和半径:
①x2+y2-2x-5=0
②x2+y2+2x-4y-4=0
③x2+y2+2ax=0
④x2+y2-2by-2b2=0
3.求证:
两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切.
设计思想
这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重;知识、能力、思想方法并重”.
在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,而采用讨论式,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾,类比,学生从中领会探求方法;另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.
同时,通过类比进行条件的探求——“D2+E2-4F”与“Δ”(判别式)类比.
在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.
三
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握圆的一般方程的特点;能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.
(二)能力训练点
使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法,熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程,培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力.
(三)学科渗透点
通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础.
二、教材分析
1.重点:
(1)能用配方法,由圆的一般方程求出圆心坐标和半径;
(2)能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程.
(解决办法:
(1)要求学生不要死记配方结果,而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法;
(2)加强这方面题型训练.)
2.难点:
圆的一般方程的特点.
(解决办法:
引导学生分析得出圆的一般方程的特点,并加以记忆.)
3.疑点:
圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F>0.
(解决办法:
通过对方程配方分三种讨论易得限制条件.)
三、活动设计
讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板.
四、教学过程
(一)复习引入新课
前面,我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0.请大家思考一下:
形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆?
下面我们来深入研究这一方面的问题.复习引出课题为“圆的一般方程”.
(二)圆的一般方程的定义
1.分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得:
(1)
(1)当D2+E2-4F>0时,方程
(1)与标准方程比较,可以看出方程
半径的圆;
(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解,因而它不表示任何图形.
这时,教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、
法.
2.圆的一般方程的定义
当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程.
(三)圆的一般方程的特点
请同学们分析下列问题:
问题:
比较二元二次方程的一般形式
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.
(2)
与圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0).
(3)
的系数可得出什么结论?
启发学生归纳结论.
当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件:
(1)x2和y2的系数相同,不等于零,即A=C≠0;
(2)没有xy项,即B=0;
(3)D2+E2-4AF>0.
它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出.
教师还要强调指出:
(1)条件
(1)、
(2)是二元二次方程
(2)表示圆的必要条件,但不是充分条件;
(2)条件
(1)、
(2)和(3)合起来是二元二次方程
(2)表示圆的充要条件.
(四)应用与举例
同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F,因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆.下面看一看它们的应用.
例1 求下列圆的半径和圆心坐标:
(1)x2+y2-8x+6y=0,
(2)x2+y2+2by=0.
此例由学生演板,教师纠错,并给出正确答案:
(1)圆心为(4,-3),半径为5;
(2)圆心为(0,-b),半径为|b|,注意半径不为b.
同时强调:
由圆的一般方程求圆心坐标和半径,一般用配方法,这要熟练掌握.
例2 求过三点O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)的圆的方程.
解:
设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、A、B在圆上,则有
解得:
D=-8,E=6,F=0,
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0.
例2小结:
1.用待定系数法求圆的方程的步骤:
(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式;
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程;
(3)解方程组,求出a、b、r或D、E、F的值,代入所设方程,就得要求的方程.
2.关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程:
一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程;如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.再看下例:
例3 求圆心在直线l:
x+y=0上,且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
(0,2).
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上所以得方程组为
故所求圆的方程为:
(x+3)2+(y-3)2=10.
这时,教师指出:
(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.
(2)此题也可以用圆系方程来解:
设所求圆的方程为:
x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)
整理并配方得:
由圆心在直线l上得λ=-2.
将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.此法到圆与圆的位置关系中再介绍,此处为学生留下悬念.
的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.
此例请两位学生演板,教师巡视,并提示学生:
(1)由于曲线表示的图形未知,所以只能用轨迹法求曲线方程,设曲线上任一点M(x,y),由求曲线方程的一般步骤可求得;
(2)应将圆的一般方程配方成标准方程,进而得出圆心坐标、半径,画出图形.
(五)小结
1.圆的一般方程的定义及特点;
2.用配方法求出圆的圆心坐标和半径;
3.用待定系数法,导出圆的方程.
五、布置作业
1.求下列各圆的一般方程:
(1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3);
(2)过三点A(-1,5)、B(5,5)、C(6,-2).
2.求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
3.等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.
4.A、B、C为已知直线上的三个定点,动点P不在此直线上,且使∠APB=∠BPC,求动点P的轨迹.
作业答案:
1.
(1)x2+y2-16x+6y+48=0
(2)x2+y2-4x-2y-20=0
2.x2+y2-x+7y-32=0
3.所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3,x≠5),轨迹是以
4.以B为原点,直线ABC为x轴建立直角坐标系,令A(-a,0),C(c,0)(a>0,c>0),P(x,y),可得方程为:
(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0.
当a=c时,则得x=0(y≠0),即y轴去掉原点;当a≠c时,则得(x-
与x轴的两个交点.
六.板书设计
四
教学目标
(1)了解曲线的参数方程的含义,参数方程和普通方程的区别.
(2)掌握圆的参数方程,能根据参数方程确定圆的圆心和半径,在解题中灵活运用.会把圆的参数方程与普通方程进行互化.
(3)掌握确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的判别方法.
教学重点和难点
重点:
圆的参数方程,圆的参数方程与普通方程的互化.利用距离判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.
难点:
参数方程的理解.点与圆、直线与圆、圆与圆位置的判断.
教学过程设计
(一)学生阅读课本.(P973.圆的参数方程到P98例6前).
(二)导入新课,设圆O的圆心在原点,半径是r.
根据三角函数的定义:
P点的
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 位置 关系 教案