20章教学设计.docx
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20章教学设计
第20章四边形
20.1多边形的内角和(导学案)
【学习目标】
1、知识与能力:
理解多边形的有关概念,掌握多边形内角和外角和定理,并能用这两个定理解决有关问题。
2、过程与方法:
体验把多边形转化为三角形来解决问题的化归思想。
在探索的过程中,能够运用化归的思想方法,发现规律。
3、情感态度与价值观:
在探求多边形内角和定理及其对角线条数的过程中,体验分析问题、解决问题的乐趣。
【学习重难点】
1、重点:
多边形的有关概念,多边形内角和、外角和定理以及化归的思想方法。
2、难点:
多边形的内角和定理的推导证明。
【预习内容】课本第70—72页
【学习流程】
一、基础达标,应知应会
(一)旧知回顾
1、三角形的内角和:
。
2、所组成的角叫做三角形的外角。
3、三角形的外角和:
。
4、如图,已知直线MN过点A,且MN∥BC,求证:
∠BAC+∠B+∠C=180°
(二)新知探究
1、多边形的有关概念及其表示方法
请仔细阅读课本第70页的内容,完成下列填空:
在平面内叫做多边形。
组成多边形的线段叫做。
相邻两边的叫做多边形的顶点。
多边形中的角叫做多边形的内角,简称的角。
在顶点处,所组成的角叫做多边形的外角。
一个多边形,如果把它任何一边双向延长,其它各边都在,样的多边形叫做多边形。
(观察课本第70页图20-3)
注:
以后不特别说明,多边形都是指凸四边形。
多边形一般按命名,并用来表示。
多边形的内角和:
三角形的内角和是180°。
你知道四边形的内角和是多少吗?
五边形呢?
阅读课本第71页内容填写下表:
提示:
辅助线作法——在多边形内任取一点,连接这点与多边形的各个顶点。
多边形的边数
图 形
分割出的三角形的个数
多边形的内角和
4
5
6
…
…
…
…
n
图略
n边形内角和定理:
3、多边形的对角线
多边形中_______________________________________________叫做多边形的对角线。
n边形的对角线有多少条?
你能仿照上表进行探求么?
C
n边形的对角线的条数是:
(n为不小于3的整数)
4、
D
多边形的外角和
B
如图,四边形的每一个外角都与和它的内角。
A
你能利用四边形的内角和算出四边形的外角和么?
四边形的外角和等于。
n边形外角和定理:
。
证明:
5、正多边形
叫做正多边形。
等边三角形就是,正四边形就是。
例:
求正五边形,正六边形每个内角的度数。
解:
6、四边形的不稳定性
以前学习过,三角形具有。
而四边形。
在日常生活中请举
出一些三角形稳定性的应用例子以及四边形的不稳定性的例子。
(三)基础练习
1、求十边形的内角和。
2、一个多边形的内角和是1440°,求这个多边形的边数。
3、求正五边形的每一个外角的度数。
4、正多边形的每一个内角可能是:
(1)75°;
(2)90°;(3)120°吗?
5、四边形ABCD中,四个内角之比是1﹕2﹕3﹕4,求出四个内角的度数。
6、一个多边形每一个外角都等于45°,这个多边形是几边形?
它的内角和是多少?
7、一个多边形的内角和等于它的外角和,求这个多边形的边数。
8、若一个多边形的边数与对角线的条数相等,求这个多边形的边数。
(四)归纳小结
1、多边形内角和定理:
2、多边形外角和定理:
3、在探索多边形内角和定理的过程中我们用了哪些方法?
二、师生互动,交流合作
如果一个n边形的边数增加1,那么它的内角和增加多少度?
如果n边形的边数增加1倍,那么它的内角和增加多少度?
三、能力升级,拓展延伸
小明说一个五边形有5个内角,剪去一个后就剩4个内角,也就变成了四边形,故内角和为360°。
你认为小明的说法对吗?
如果对,请说明理由;如果不对,正确的应该是怎样的?
20.2平行四边形(预习学案1)
【预习目标】
1.知识与能力:
理解平行四边形的概念及表示方法,掌握平行四边形的性质及推论的运用。
2.过程与方法:
运用化归方法通过三角形全等得到平行四边形的性质。
3.情感态度与价值观:
通过运用化归的数学思想与方法,利用已有知识解决新问题,提高探究能力,提高学习兴趣。
【预习重难点】
3、重点:
平行四边形的性质及推论。
4、难点:
平行四边形的性质及推论的运用。
【预习内容】课本第74—77页
【预习方法】独立思考+合作交流
【预习流程】
一、基础达标,应知应会
(一)旧知回顾
1、三角形全等的性质是什么?
2、三角形全等的判定方法有哪几种?
(二)新知探究
活动一:
拼图游戏.
问题1:
你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出四边形吗?
问题2:
观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系?
说说你的理由.
平行四边形定义:
记法:
平行四边形ABCD记作:
问题3:
学案上展示的图形中,哪些是平行四边形呢?
答:
(1)
(2)(3)(4)
活动二:
开放探究平行四边形的性质.
1、
2、学生利用学具(全等的三角形纸板、平行四边形纸板各一对,格尺,量角器,图钉)小组合作探究.
大家先看清要求,再动手操作,结论写在学案上.
活动要求:
活动二
要求:
(1)请适当选用准备好的学具
(2)可以采用度量,平移,旋转,折叠,拼图等方法
(3)通过小组合作探究平行四边形有哪些性质
平行四边形的性质1:
平行四边形的性质2:
平行四边形的性质3:
你能证明以上结论么?
已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC
求证:
(1)AB=DC,AD=BC
(2)∠A=∠C,∠B=∠D
证明:
已知:
如图,平行四边形ABCD中,AC,BD是对角线,交点为O
求证:
AO=CO,BO=DO
阅读课本75,77页例1,例3后完成以下例题
例:
已知,如图,□ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E
(1)
如果AE=5,求CD的长
(2)如果∠AEB=35°,求∠C的度数
解:
例:
已知,如图,□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=6
AD=10,求BD的长
解:
l1
活动三:
画一画,量一量
如图,l1∥l2,请在l1和l2之间
画一些平行线段,量出这些线段
l2
的长度,你发现了什么?
平行四边形的推论1:
平行四边形的推论2:
(平行线间的距离:
)
例:
已知:
如图过△ABC的三个顶点,分别作对边的平行线,这三条直线两两相交,得△A,B,C,,求证:
△ABC的顶点分别是△A,B,C,三边的中点。
(三)基础练习
1、在□ABCD中,已知∠A=60°,求∠B,∠C,∠D的度数。
2、在□ABCD中,已知AB=a,BC=b,求这个平行四边形的周长。
3、已知直线l1∥l2,如果l⊥l2,求证:
l⊥l1
4、在□ABCD中,BC=2AB,点E是BC中点。
求证:
AE⊥ED
6、在□ABCD中,对角线AC与BD互相垂直,那么这个四边形的邻边有什么关系,为什么?
5、在□ABCD中,AC=24cm,BD=38cm,AD=28cm,若对角线交点为O,求△OBC周长
(四)归纳小结
1、平行四边形的定义:
2、平行四边形的性质:
3、平行四边形的推论:
二、师生互动,交流合作
平行四边形的一边长为6,一对角线为8,另一对角线x的取值范围是多少?
三、能力升级,拓展延伸
如图,在□ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,连接AF、CE。
请添加一个你认为合适的条件,使△ADF≌△CBE,并给予证明。
四、目标检测,感受快乐(题目另附)
20.2.平行四边形(预习展示学案2)
【预习目标】
4.知识与能力:
理解并掌握平行四边形的判定方法,会判断一个四边形是否为平行四边形。
理解并掌握三角形中位线定理及其运用。
5.过程与方法:
经历平行四边形判定方法和三角形中位线定理的探究过程,进一步体会数学证明过程中的逻辑性、严谨性和必要性。
6.情感态度与价值观:
通过分析、思考、证明等活动,养成认真的学习态度和严格的思维习惯。
【预习重难点】
5、重点:
平行四边形的判定,三角形中位线定理
6、难点:
平行四边形的判定,三角形中位线定理的运用
【预习内容】课本第77—80页
【预习方法】独立思考+合作交流
【预习流程】
五、基础达标,应知应会
(五)旧知回顾
1、平行四边形的定义:
2、平行四边形的性质:
3、平行四边形性质的推论:
(六)新知探究
问题1:
(阅读课本77页思考)
现有两根相同的木条,请试一试
如何摆放移动,画出一个平行四边形?
你能说出根据吗?
D
已知:
如图,四边形ABCD中,ABDC
求证:
四边形ABCD为平行四边形
证明:
B
C
A
平行四边形的判定定理1:
常用符号“”表示“平行且相等”
阅读课本78页思考,回答问题,为什么,你能证明吗?
问题2:
【思考1】这样画出的四边形ABCD的两组对边
它是平行四边形吗?
为什么,你能证明吗?
根据【思考1】画出图形,写出已知,求证并证明
已知:
四边形ABCD,AB=CD,BC=DA
求证:
四边形ABCD为平行四边形
证明:
问题3:
【思考2】这样画出的四边形ABCD的
它是平行四边形吗?
为什么,你能证明吗?
根据【思考2】画出图形,写出已知,求证并证明
已知:
四边形ABCD,对角线,相交于点O,
且=,=
求证:
四边形ABCD为平行四边形
平行四边形的判定定理2:
平行四边形的判定定理3:
例题:
已知:
如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上的两点,
C
D
F
并且AE=CF.
求证:
四边形BFDE是平行四边形.
O
证明:
连接交于
E
∵四边形ABCD是()
B
A
∴=,=
()
又∵AE=CF()
∴=()
∴()
例题:
已知:
如图,点D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点。
A
求证:
DE∥BC,且DE=
BC
DA
FA
EA
证明:
CA
BA
由此得出:
叫做三角形的中位线。
(七)基础练习
1、
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,试判断四边形ABCD是否是平行四边形,并说明理由
2、画□ABCD中,使AB=2cm,BC=3cm,AC=4cm
3、已知三角形各边长分别为6cm、9cm、10cm,求连接各边中点组成三角形的周长
4、已知:
如图,在□ABCD中,AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线,
EA
求证:
四边形AFCE是平行四边形。
DA
CA
BA
A
FA
5、
已知:
如图,在□ABCD中,BE=DF
求证:
四边形AECF是平行四边形
6、已知:
如图,A、C是直线l同旁的两点,AB⊥l,CD⊥l,垂足分别是B、D,并且AB=CD求证:
AC∥l
(八)归纳小结
1、说一说判断一个四边形是平行四边形的方法有哪几种?
2、三角形的中位线是:
3、三角形中位线定理:
六、师生互动,交流合作
1、求证:
平行四边形一组对边中点的连线必与对角线互相平分。
2、求证:
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
七、能力升级,拓展延伸
已知:
AD是△ABC的中线,点E是AD的中点,
点F是BE延长线与AC的交点。
求证:
AF=
FC
八、目标检测,感受快乐
20.3矩形菱形正方形(预习学案2)
【预习目标】
7.知识与能力:
知道什么样的图形是菱形或正方形,菱形和正方形的特征,会判断一个四边形是不是菱形或正方形。
8.过程与方法:
经历菱形和正方形性质和判定的探究过程,进一步体会数学证明过程中的逻辑性、严谨性和必要性。
9.情感态度与价值观:
通过几何证明,形成严谨的学习态度。
【预习重难点】
7、重点:
菱形的性质和判定
8、难点:
菱形的性质和判定的运用
【预习内容】课本第83—85页
【预习方法】独立思考+合作交流
【预习流程】
九、基础达标,应知应会
(九)旧知回顾
1、矩形的定义:
2、矩形的性质有:
3、矩形的判定方法有:
(一十)新知探究
1、矩形的性质:
【活动1】:
画一个邻边为6cm和10cm的平行四边形,计算一下你所作的平行四边形的面积,它的面积是不是固定不变的?
什么时候面积最大?
由于平行四边形具有(填“稳定”或“不稳定”)性,因此平行四边形两邻边的夹角可以变化,当夹角变为90°时,平行四边形就是矩形了。
矩形定义:
有一个角是的叫做矩形。
矩形属于平行四边形,它是一种特殊的,因此,矩形除了有一般平行四边形的所有性质外,还具有一些特殊的性质。
(让我们一起找找看)
【活动2】:
画一个矩形,量一量四条边的长度,两条对角线的长度以及四个角的度数,你可以得出矩形的特殊性质吗?
。
性质1:
矩形的四个角。
性质2:
矩形的对角线。
推论:
直角三角形斜边上的中线等于。
试着证明以上结论吧!
DC
1)已知:
如图,矩形ABCD
求证:
∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB
2)已知:
如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O
求证:
AC=BDDC
O
AB
3)已知:
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点O是AC的中点
求证:
OB=
AC(提示:
将直角三角形补成矩形)DC
O
AB
例:
(阅读课本84页例1完成)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=120°,AD=6cm,求矩形对角线的长。
D
C
O
B
A
2、矩形的判定:
我们知道“矩形的对角线相等”,反过来,对角线相等的四边形是矩形吗?
答:
,要想是矩形,还要添加的条件是
结合你添加的条件,请给予证明:
已知:
求证:
由此,我们得到矩形的判定定理:
定理:
对角线的是矩形。
例:
已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,直线AE∥BC,过点D作直线EF∥AB,分别交AE、BC于点E、F。
求证:
四边形AECF是矩形
A
E
D
C
B
F
(一十一)基础练习
1、矩形的两邻边分别是3cm和4cm,则它的对角线是cm。
2、矩形的一条边长为3cm,对角线长为5cm,则矩形的周长为cm,矩形的面积为cm2。
3、在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知∠CBD=40°,那么
∠AOB=,∠AOD=。
4、已知直角三角形一条直角边长为6cm,斜边上的中线长5cm,求另一条直角边长。
5、已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm,两条对角线的夹角为60°,
求AB、AD的长
AD
O
BC
(一十二)归纳小结
1、矩形的定义是:
2、矩形的性质有:
3、矩形的判定方法有:
一十、师生互动,交流合作
1、已知:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中点,∠A=68°,
求∠ADC和∠BCD的度数。
2、如图,在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB边上的高,M是BC的中点。
A
求证:
ME=MF。
F
E
M
B
C
3、求证:
有三个角是直角的四边形是矩形。
4、已知:
如图,点M为□ABCD的边AD的中点,且MB=MC
求证:
□ABCD是矩形。
AMD
BC
5、已知:
如图,对角线AC、BD相交于点O.AB=CD,AD=BC,∠OBC=∠OCB.
D
A
求证:
四边形ABCD是矩形。
O
C
B
6、如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,顺次连接E、F、G、H、E所得的四边形EFGH是矩形吗?
请说明理由。
AD
EH
O
FG
BC
一十一、能力升级,拓展延伸
已知:
在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点P是AD上的动点,PE⊥AC于点E,
PF⊥BD于点F,那么PE+PF的值是多少?
P
D
A
F
E
O
C
B
一十二、目标检测,感受快乐(题目另附)
20.3矩形菱形正方形(预习学案2)
【预习目标】
10.知识与能力:
知道什么样的图形是菱形或正方形,菱形和正方形的特征,会判断一个四边形是不是菱形或正方形。
11.过程与方法:
经历菱形和正方形性质和判定的探究过程,进一步体会数学证明过程中的逻辑性、严谨性和必要性。
12.情感态度与价值观:
通过几何证明,形成严谨的学习态度。
【预习重难点】
9、重点:
菱形、正方形的性质和判定、
10、难点:
菱形、正方形的性质和判定的运用
【预习内容】课本第86—89页
【预习方法】独立思考+合作交流
【预习流程】
一十三、基础达标,应知应会
(一十三)旧知回顾
1、矩形的定义:
2、矩形的性质有:
3、矩形的判定方法有:
(一十四)新知探究
1、菱形:
定义:
有一组邻边的叫做菱形。
菱形属于平行四边形,它是一种特殊的,因此,菱形除了有一般平行四边形的所有性质外,还具有一些特殊的性质。
(让我们一起找找看)
【活动1】:
画一个菱形,量一量四条边的长度,两条对角线的长度以及四个角的度数,你可以得出矩形的特殊性质吗?
。
性质1:
菱形的四条边都。
性质2:
菱形的对角线,并且每条对角线。
试着证明以上结论吧!
DC
2)已知:
如图,菱形ABCD
求证:
AB=BC=CD=DA
AB
2)已知:
如上题图,菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O
求证:
AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC
例:
(阅读课本87页例4)如图,菱形ABCD两条对角线AC、BD交于点O,AC=a,BD=b,求菱形ABCD的面积。
A
O
BD
C
【活动2】以点A为端点任意画两条线段AB=AD,再分别以B、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点C,连结BC、DC,四边形ABCD是什么图形?
【活动3】画两条互相垂直的直线l1和l2,两直线交于点O,在l1上取两点A、C,使OA=OC,在l2上取两点B、D,使OB=OD,顺次连结A、B、C、D,四边形ABCD是什么图形?
由此,我们得到菱形的判定定理:
定理1四边都的四边形是菱形。
定理2对角线的是菱形。
让我们来证明以上两个结论:
1)
已知:
如图,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,AD
求证:
四边形ABCD是菱形。
BC
2)已知:
如图,□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且AC⊥BD,
求证:
□ABCD是菱形。
A
O
BD
C
例:
(阅读课本88页例5)如图,在□ABCD中,AC=8,BD=6,AB=5,求AD的长。
DC
O
AB
2、正方形:
定义:
有一个角是,且有一组邻边的叫做正方形。
正方形是特殊的矩形,又是特殊的菱形,更是特殊的平行四边形,因此,正方形具有这些图形的所有性质。
性质1:
正方形的四条边,四个角。
性质2:
正方形的对角线且,每条对角线。
(试着证明以上两条性质)
例:
(阅读课本89页例6)如图,点A´、B´、C´、D´、分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA´=BB´=CC´=DD´。
求证:
四边形A´B´C´D´是正方形。
证明:
∵四边形ABCD是正方形DC´C
∴====90°
AB===D´
又∵AA´=BB´=CC´=DD´
∴D´A=A´B=B´C=C´DB´
在△AA´D、△BB´A、△CC´B和△DD´C中
AA´B
∴△AA´D≌△BB´A≌△CC´B≌△DD´C()
∴
∴四边形A´B´C´D´是菱形
∴四边形A´B´C´D´是正方形。
()
(一十五)基础练习
1、课本88页练习。
2、课本89页练习。
(一十六)归纳小结
1、菱形形的定义是:
2、菱形形的性质有:
3、菱形的判定方法有:
4、正方形的定义是:
5、正方形的性质有:
6、你认为怎样证明一个四边形是正方形?
一十四、师生互动,交流合作
1、在菱形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,求平行线AB与CD之间的距离。
2、在□ABCD中,∠BAC=∠DAC
求证:
□ABCD是菱形。
3、如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,求∠CDF的度数。
D
F
AC
E
B
4、已知:
如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,DF‖AC,EF‖AB,
求证:
四边形ADFE是菱形。
A
D
E
BFC
5、如图,在正方形ABCD中,点F是对角线AC上一点,且CH=CD,过点H作AC的垂线交AD于点P,求∠HPC的度数。
AD
H
BC
6、已知:
如图,D是Rt△ABC的斜边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。
求证:
四边形AEDF为正方形。
A
FE
BDC
一十五、
能力升级,拓展延伸
如图是一块在电视屏幕上出现的矩形
色块图,由六个颜色不同的正方形组
成,设中间最小的一个
正方形边长为
1,你能求出矩形色块的面积吗?
一十六、目标检测,感受快乐(题目另附)
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