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分式的运算技巧.docx
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分式的运算技巧
分式
概念
形如 (A、B就是整式,B中含有字母)得式子叫做分式。
其中A叫做分式得分子,B叫做分式得分母。
且当分式得分子得次数低于分母得次数时,我们把这个分式叫做真分式;当分式得分子得次数高于分母得次数时,我们把这个分式叫做假分式。
注意:
判断一个式子就是否就是分式,不要瞧式子就是否就是得形式,关键要满足:
分式得分母中必须含有字母,分子分母均为整式。
无需考虑该分式就是否有意义,即分母就是否为零。
由于字母可以表示不同得数,所以分式比分数更具有一般性。
方法:
数瞧结果,式瞧形。
分式条件:
1、分式有意义条件:
分母不为0。
2、分式值为0条件:
分子为0且分母不为0。
3、分式值为正(负)数条件:
分子分母同号得正,异号得负。
4、分式值为1得条件:
分子=分母≠0。
5、分式值为1得条件:
分子分母互为相反数,且都不为0。
代数式分类
整式与分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母得式子叫做无理式。
无理式与有理式统称代数式。
分式得基本性质
分式得分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0得整式,分式得值不变。
用式子表示为:
(A,B,C为整式,且B、C≠0)
运算法则
约分
根据分式基本性质,可以把一个分式得分子与分母得公因式约去,这种变形称为分式得约分。
约分得关键就是确定分式中分子与分母得公因式。
约分步骤:
1、如果分式得分子与分母都就是单项式或者就是几个因式乘积得形式,将它们得公因式约去。
2、分式得分子与分母都就是多项式,将分子与分母分别分解因式,再将公因式约去。
公因式得提取方法:
系数取分子与分母系数得最大公约数,字母取分子与分母共有得字母,指数取公共字母得最小指数,即为它们得公因式。
最简分式:
一个分式不能约分时,这个分式称为最简分式。
约分时,一般将一个分式化为最简分式。
通分:
异分母得分式可以化成同分母得分式,这一过程叫做通分。
分式得乘法法则:
(1)两个分式相乘,把分子相乘得积作为积得分子,把分母相乘得积作为积得分母。
(2)两个分式相除,把除式得分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用字母表示为:
分式得加减法法则:
同分母分式得加减法法则:
同分母得分式相加减,分母不变,把分子相加减。
用字母表示为:
异分母分式得加减法法则:
异分母得分式相加减,先通分,化为同分母得分式,然后再按同分母分式得加减法法则进行计算。
分式得除法法则:
两个分式相除,把除式得分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。
除以一个分式,等于乘以这个分式得倒数:
乘方
分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分得约分,最后化成最简:
分式方程得意义:
分母中含有未知数得方程叫做分式方程。
分式方程得解法:
(1)去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)
(2)按解整式方程得步骤求出未知数得值
(3)验根(求出未知数得值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程得过程中,扩大了未知数得取值范围,可能产生增根)。
分式方程解法得归纳:
解分式方程得基本思路就是将分式方程化为整式方程,具体做法就是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也就是解分式方程得一般思路与做法。
【基础精讲】
一、分式得概念
1、正确理解分式得概念:
【例1】有理式
(1);
(2);(3);(4);(5);(6)中,属于整式得有:
;属于分式得有:
。
、
2、判断分式有无意义关键就是瞧分母就是否为零、
(1)例如,当x为时,分式有意义.
错解:
时原分式有意义.
(2)不要随意用“或”与“且”。
例如当x____时,分式有意义?
错解:
由分母,得
3、注意分式得值为零必受分母不为零得限制.
当时,分式有意义.当时,分式无意义.当时,分式值为0.
二、分式得基本性质:
1、分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变、
(1)分式得基本性质就是分式恒等变形得依据,它就是分式得约分、通分、化简与解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式得基本性质,并能熟练得运用它.理解分式得基本性质时,必须注意:
①分式得基本性质中得A、B、M表示得都就是整式.
②在分式得基本性质中,M≠0.
③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0),不要只乘分子(或分母).
④性质中“分式得值不变”这句话得实质,就是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式得值就是相等得。
但就是变形前后分式中字母得取值范围就是变化得.
(2)注意:
①根据分式得基本性质有:
分式得分子、分母与分式本身得符号,改变其中任何两个,分式得值不变.
②分式得基本性质就是一切分式运算得基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零得整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式
【例3】下列变形正确得就是().
A.;B.C.D.
【例4】如果把分式中得都扩大3倍,那么分式得值一定().
A、扩大3倍B、扩大9倍C、扩大6倍D、不变
2、约分
约分就是约去分式得分子与分母得最大公约式,约分过程实际就是作除法,目得在于把分式化为最简分式或整式,根据就是分式得基本性质、
【例5】
(1)化简得结果为()A.B.C.D.
(2)化简得结果A.B.C.D.
(3)化简得结果就是A.B.C.D.
3、通分
通分得依据就是分式得基本性质,通分得关键就是确定最简公分母、最简公分母由下面得方法确定:
(1)最简公分母得系数,取各分母系数得最小公倍数;
(2)最简公分母得字母,取各分母所有字母得最高次幂得积;
三、分式得运算
1、分式运算时注意:
(1)注意运算顺序.例如,计算,应按照同一级运算从左到存依次计算得法则进行.错解:
原式
(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算,出现了这样得解题错误:
原式=.分式通分就是等值变形,不能去分母,不要同解方程得去分母相混淆;
(3)忽视“分数线具有括号得作用”:
分式相减时,若分子就是多项式,其括号不能省略.
(4)最后得运算结果应化为最简分式.
2、分式得乘除
注意分式得乘除法应用关键就是理解其法则、
(1)先把除法变为乘法;
(2)接着对每个相乘得分式得分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;
(3)再把每个分式得分子与分子相乘、分母与分母相乘;
(4)最后还应检查相乘后得分式就是否为最简分式.
3、加减得加减
1)同分母分式加减法则:
分母不变,分子相加减。
2)异分母分式加减法则:
运算步骤:
①先确定最简公分母;②对每项通分,化为分母相同;③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简,化为最简.
4、分式得混合运算
注意分式得混合运算得顺序:
先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内得、如果分式得分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分得先约分,再进行运算、
【例6】计算:
(1);
(2);
(3)(4)已知,则代数式得值
分式运算中得技巧与方法1
在分式运算中,若能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当得运算方法,常常收到事半功倍得效果。
现就分式运算中得技巧与方法举例说明。
一、整体通分法
例1.化简:
a1
分析将后两项瞧作一个整体,则可以整体通分,简捷求解。
解:
a1=(a+1)===
二、逐项通分法
例2.计算
分析:
注意到各分母得特征,联想乘法公式,适合采用逐项通分法
解:
=
=
=
==0
三、先约分,后通分
例3.计算:
+
分析:
分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算
解:
+=+=+==2
四、整体代入法
例4.已知+=5求得值
解法1:
∵+=5∴xy≠0,、所以====
解法2:
由+=5得,=5,x+y=5xy
∴====
五、运用公式变形法
例5.已知a25a+1=0,计算a4+
解:
由已知条件可得a≠0,∴a+=5
∴a4+=(a2+)22=[(a+)22]22=(522)22=527
六、设辅助参数法
例6.已知==,计算:
解:
设===k,则b+c=ak;a+c=bk;a+b=ck;
把这3个等式相加得2(a+b+c)=(a+b+c)k
若a+b+c=0,a+b=c,则k=1
若a+b+c≠0,则k=2
==k3
当k=1时,原式=1
当k=2时,原式=8
七、应用倒数变换法
例7.已知=7,求得值
解:
由条件知a≠0,∴=,即a+=
∴=a2++1=(a+)21=
∴=
八、取常数值法
例8.已知:
xyz≠0,x+y+z=0,计算++
解:
根据条件可设x=1,y=1,z=2、
则++=3、当然本题也可以设为其她合适得常数。
九、把未知数当成已知数法
例9.已知3a4bc=0,2a+b8c=0,计算:
解:
把c当作已知数,用c表示a,b得,a=3c,b=2c
∴==、
十、巧用因式分解法
例10.已知a+b+c=0,计算++
解:
∵a+b+c=0,∴a=bc,b=ac,c=ab
∴2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(bc)+bc=(ab)(ac)
同理可得2b2+ac=(bc)(ba),2c2+ab=(ca)(cb)
++=++
=+=
==
===1
分式运算得几种技巧
(二)
1、先约分后通分技巧例1计算+
分析:
不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算
解:
原式=+
=+=
2、分离整数技巧例2计算
分析:
两个分式得分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。
解:
原式=
=1+1
=
===
3、裂项相消技巧例3计算++
分析:
此类题可利用=裂项相消计算。
解:
原式=++
==
4、分组计算技巧例4计算+
分析:
通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a24,第二项、第三项分母乘积为a21,采取分组计算简捷。
解:
原式=+
=+=
5、变形技巧例5已知x23x+1=0,求x2+得值。
分析:
将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式得逆用可求出x2+得值。
解:
由x23x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x3+=0,即x+=3
所以x2+=(x+)22=322=7
二、分式求值中得整体思想
例1若分式得值为,则得值为()
A、1B、1C、D、
解:
由已知=得2y2+3y+7=8
2y2+3y=1,4y2+6y=2所以==1,故选A。
例2已知+=4,则=。
分析:
由已知可得到a+b与ab得关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab得表达式,然后将a+b用ab代换即可求出所求式得值。
解:
由已知得=4∴a+b=4ab
===
点评:
本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到
=
然后将已知式代入求值,这种方法也就是常用得一种方法。
例3已知a23a+1=0,求得值。
解:
由已知a23a+1=0知a≠0,将已知等式两边同除以a得a3+=0,∴a+=3
所以=a2+=(a+)22=322=7∴=
点评:
①所求式得倒数与已知式有联系时,先求所求式得倒数,再得所求式。
②a2±=(a±)22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。
例4已知+=,+=,+=,求得值。
分析:
将所求式分子、分母同除以abc可得到,只要将已知式变换出++即可。
解:
因为+=①,+=②,+=③,将①、②、③左、右分别相加,得
2(++)=++
∴++= 所以==
例5有一道题:
“先化简再求值:
其中”,小明做题时把“”错抄成了“”,但她得计算结果也就是正确,请您通过计算解释这就是怎么回事?
解析:
首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理、
、
因为当与时,得值都就是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也就是正确得、
例6已知x23x+1=0,求x2+得值。
分析:
将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式得逆用可求出x2+得值。
解:
由x23x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x3+=0,即x+=3所以x2+=(x+)22=322=7
三、分式运算新型题
例2请利用、与这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式得商减去第三个分式得差,并化简、
解析:
本题为开放性问题,答案不唯一、按题目得要求可得到10多个不同得算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便得算式,以减少运算量,提高正确率、
如,÷=
==,等等、
温馨提示:
这类开放型问题有利于思维能力与创新意识得培养,已成为各类考试得热点,但所考查得知识却就是我们所熟悉得、
例3先化简代数式÷,然后选取一个合适得值,代入求值、
解析:
本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中得含义,即选取得得值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便、
原式=
=、
由题意知,得值不能取2与2,所以当=0时,原式=4、
温馨提示:
本题既检测了同学们分析问题得能力,又考查了识别隐含信息得能力,题目得形式也体现了鼓励解题者得主动参与意识、这类题目也就是近年出现得热点题型,为我们提供了较为广阔得思考空间,但所选字母得值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”、
一、开放性问题
例1在下列三个不为零得式子中,任选两个您喜欢得式子组成一个分式就是,把这个分式化简所得得结果就是、
分析:
此例就是答案不唯一得开放题,分式由学生自主构造,题型新颖活泼,呈现出人性化与趣味化、
解:
本题存在6种不同得结果,任选其一即可、
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6)、
说明:
其实解决本题得关键就就是分式得约分,但它又不完全等同于分式得约分,它需要我们先构造出分式后再约分,让我们在分析探索后解决问题,而不就是直接把问题摆在我们面前、
二、探索运算程序
例2任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出得结果就是()
平方÷+2结果
A.B.C.+1D.1
分析:
本题设计新颖,意在创新,明确计算程序就是正确解答本题得前提、
解:
计算程序可表示为:
化简:
原式==m1+2=m+1,故选C、
说明:
这就是一道比较容易得题,但要注意其运算得顺序,否则就会出现错误得答案、
三、自选数值求解
例3化简,并选择您最喜欢得数代入求值.
分析:
这就是近年来出现得一种新题型,具有一定得灵活性。
此题从难度上来说并不大,但就是要注意混合运算得运算顺序,运算结果要化成最简形式、在选取x得数值时,一定要保证原式有意义,而且尽量使运算简便为好、
解:
原式,当x=2时,原式=2、
说明:
这里得x不能取0与1,否则分母得值为0,原式就没有意义了、
四、运算说理题
例4在解题目:
“当时,求代数式得值”时,聪聪认为只要任取一个使原式有意义得值代入都有相同结果.您认为她说得有理吗?
请说明理由.
分析:
本题就是说理型试题,有很强得创新性,但将其转化为代数式得化简与求值,解决问题就很方便,同时要注意说得“理由”要充分合理、
解:
聪聪说得有理.
∴只要使原式有意义,无论取何值,原式得值都相同,为常数1.
说明:
解决此类问题,首先要化简所给得代数式,然后再根据化简得结果去解释题目所问得问题、
先观察下列等式,然后用您发现得规律解答下列问题.
┅┅
(1)计算.
(2)探究.(用含有得式子表示)
(3)若得值为,求得值.
解:
(1)
(2)
(3)
=+┄+
==
由=解得
经检验就是方程得根,∴
【精练】计算:
【分析】本题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母得分式相加减,公分母比较复杂,其运算难度较大、不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却就是非常简单得、因此我们可以采用逐项相加得办法、
【解】=
=
=
1.顺次相加法例1:
计算:
【分析】本题得解法与例1完全一样、
【解】=
=
=
2.整体通分法【例2】计算:
【分析】本题就是一个分式与整式得加减运算、如能把(a1)瞧作一个整体,并提取“”后在通分会使运算更加简便、通常我们把整式瞧作分母就是1得分式、
【解】==、
3.化简后通分
分析:
直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简得余地,显然,化简后再通分计算会方便许多.
4.巧用拆项法
例4计算:
、
分析:
本题得10个分式相加,无法通分,而式子得特点就是:
每个分式得分母都就是两个连续整数得积(若a就是整数),联想到,这样可抵消一些项、
解:
原式=
=
==
5.分组运算法
例5:
计算:
分析:
本题项数较多,分母不相同、因此,在进行加减时,可考虑分组、分组得原则就是使各组运算后得结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便、
解:
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式得基本性质
例1 化简
错解:
原式
分析:
分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质、
正解:
原式
二、错在颠倒运算顺序
例2 计算
错解:
原式
分析:
乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、
正解:
原式
三、错在约分
例1 当为何值时,分式有意义?
[错解]原式、
由得、
∴时,分式有意义、
[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误、
[正解]由得且、
∴当且,分式有意义、
四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式有意义?
[错解]当,得、
∴当,原分式有意义、
[解析]上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误、
[正解],得,
由,得、
∴当且时,原分式有意义、
五、错在计算去分母
例3 计算、
[错解]原式
=、
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、
[正解]原式
、
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时,分式得值为零、
[错解]由,得、
∴当或时,原分式得值为零、
[解析]当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件、
[正解]由由,得、
由,得且、
∴当时,原分式得值为零、
二、经典例题透析
类型一:
分式及其基本性质
1.当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是()
A、 B、 C、 D、
2.若分式得值等于零,则x=_______;
3.求分式得最简公分母。
【变式1】
(1)已知分式得值就是零,那么x得值就是()
A.-1 B.0 C.1 D.±1
(2)当x________时,分式没有意义.
【变式2】下列各式从左到右得变形正确得就是()
A. B.
C. D.
类型二:
分式得运算技巧
(一)通分约分
4.化简分式:
【变式1】顺次相加法计算:
【变式2】整体通分法计算:
(二)裂项或拆项或分组运算
5.巧用裂项法
计算:
【变式1】分组通分法
计算:
【变式2】巧用拆项法计算:
类型三:
条件分式求值得常用技巧
6.参数法已知,求得值.
【变式1】整体代入法已知,求得值、
【变式2】倒数法:
在求代数式得值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式得分子、分母颠倒后,变形就非常得容易,这样得问题适合通常采用倒数法.
已知:
求得值.
【变式3】主元法:
当已知条件为两个三元一次方程,而所求得分式得分子与分母就是齐次式时,通常我们把三元瞧作两元,即把其中一元瞧作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式得值.
已知:
求得值.
类型四:
解分式方程得方法
解分式方程得基本思想就是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母得去分母得方法,现再介绍几种灵活去分母得技巧.
(一)与异分母相关得分式方程
7.解方程=
【变式1】换元法解方程:
(二)与同分母相关得分式方程
8.解方程
【变式1】解方程【变式2】解方程
类型五:
分式(方程)得应用
9.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖、甲进货得策略就是:
每次买1000元钱得糖;乙进货得策略就是每次买1000斤糖,最近她俩同去买进了两次价格不同得糖,问两人中谁得平均价格低一些?
【变式1】甲开汽车,乙骑自行车,从相距180千米得A地同时出发到B.若汽车得速度就是自行车得速度得2倍,汽车比自行车早到2小时,那么汽车及自行车得速度各就是多少?
【变式2】A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时后相遇,相遇后,各以原来得速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时得速度就是原来速度得2倍,结果甲、乙两车同时到达A地,求甲车原来得速度与乙车得速度.
(一)、分式定义及有关题型
题型一:
考查分式得定义
【例1】下列代数式中:
就是分式得有:
、
题型二:
考查分式有意义得条件
【例2】当有何值时,下列分式有意义
(1)
(2)(3)(4)(5)
题型三:
考查分式得值为0得条件
【例3】当取何值时,下列分式得值为0、
(1)
(2)(3)
题型四:
考查分式得值为正、负得条件
【例4】
(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数、
练习:
1.当取何值时,下列分式有意义:
(1)
(2)(3)
2.当为何值时,下列分式得值为零:
(1)
(2)
3.解下列不等式
(1)
(2)
(二)分式得基本性质及有关题型
1.分式得基本性质:
2.分式得变号法则:
题型一:
化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式得值,把分子、分母得系数化为整数、
(1)
(2)
题型二:
分数得系数变号
【例2】不改变分式得值,把下列分式得分子、分母得首项得符号变为正号、
(1)
(2)(3)
题型三:
化简求值题
【例3】已知:
求得值、
提示:
整体代入,①,②转化出、
【例4】已知:
求得值、
【例5】若,求得值、
练习:
1.不改变分式得值,把下列分式得分子、分母得系数化为整数、
(1)
(2)
2.已知:
求得值、
3.已知:
求得值、
4.若,求得值、
5.如果,试化简、
(三)分式得运算
题型一:
通分【例1】将下列各式分别通分、
(1);
(2);
(3);(4)
题型二:
约分【例2】约分:
(1);(3);(3)、
题型三:
分式得混合运算
【例3】计算:
(1);
(2);
(3);(4);
(5);
(6);
(7)
题型四:
化简求值题【例4】先化简后求值
(1)已知:
求分子得值;
(2)
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