材料力学学生习题解答.docx
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材料力学学生习题解答
2-1试绘出下列各杆的轴力图。
(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2;
FB
q
FCx
(b)
2-2求下列结构中指定杆内的应力。
已知
解:
(1)分析整体,作示力图
MB(Fi)0:
FA881040
FA40kN
(2)取部分分析,示力图见(b)
MC(Fi)0:
FN22.2FA44q20
FN2(404402)2.236.36kN
2杆FN2A236.36103115010631.62MPa
3)分析铰E,示力图见(c)
Fix0:
FN2FN1sin0
2122
37.961
40.65kN
03
115010
35.3MPa
FN1
FN3
(c)
FN2
2-3求下列各杆内的最大正应力。
3)图(c)为变截面拉杆,上段AB的横截面积为40mm2,下段BC的横截面积为30mm2,杆材料的
ρg=78kN/m3。
解:
1.作轴力图,BC段最大轴力在B处
FNB120.5301067812.0kN
AB段最大轴力在A处
FNA1212(0.530
6
0.540)1067812.0kN
2
2
12.0
12.0
400MPa
300MPa
杆件最大正应力为400MPa,发生在B截面。
C
2-4一直径为15mm,标距为200mm的合金钢杆,比例极限内进行拉伸试验,当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN时,杆伸长了0.9mm,直径缩小了0.022mm,确定材料的弹性模量E、泊松比ν。
解:
加载至58.4kN时,杆件横截面中心正应力为
1.52104
330.48MPa
线应变:
3
弹性模量:
E
330.48MPa
4.510
73.4103MPa
侧向线应变:
,=0.02215
1.467
10
泊松比:
0.326
2-6图示短柱,上段为钢制,长200mm,截面尺寸为100×100mm2;下段为铝制,长300mm,截面尺寸为200×200mm2。
当柱顶受F力作用时,柱子总长度减少了0.4mm,试求F值。
已知E钢=200GPa,E铝
=70GPa。
解:
柱中的轴力都为F,总的变形(缩短)为:
A2
El
A1
g
E
2A
3A
0E
1931.0kN
2-7图示等直杆AC,材料的容重为ρg,弹性模量为E,横截面积为A。
求直杆B截面的位移ΔB。
解:
AB段内轴力FN1F
gAx
BC段内轴力FN22F
gAx
B点位移为杆BC的伸长量:
2l(2FgAx)dx
2Fl
1.5gAl2
BlEA
EA
FN1lAD
40
1031
E1A1
200
109
500106
FN2lCG
601
030.5
E2A2
100
109
1500106
FN3lBE
20
1031
E3A3
10
109
3000106
Δl1
Δl2
104m
10
6.67
压缩)
拉伸)
106m(压缩)
3)由几何关系:
214
GΔl2-Δl1Δl3=6.89104m(下降)
G23133
Δl3
2-11图示一挡水墙示意图,
材料为松木,其容许应力[
其中AB杆支承着挡水墙,各部分尺寸均已示于图中。
σ]=11MPa,试求AB杆所需的直径。
若AB杆为圆截面,
2-8图示结构中,AB可视为刚性杆,AD为钢杆,面积A1=500mm2,弹性模量E1=200GPa;CG为铜杆,面积A2=1500mm2,弹性模量E2=100GPa;BE为木杆,面积A3=3000mm2,弹性模量E3=10GPa。
当G点
处作用有F=60kN时,求该点的竖直位移ΔG。
解:
(1)求①、②杆轴力
由平衡方程可以求出:
FN12F340kN
FN3F320kN
FN2F60kN
(2)求杆的变形
4m
解:
(1)求水压力的合力:
d=30mm,容许应力[σ]=160MPa,弹性模
P21h2b40kN
(2)作示力图(a)由平衡方程求轴力
MO(Fi)0:
FN0.60.4P320
FN11.11kN(3)由强度条件,设计截面尺寸:
FNA[]
d411.11103/(11106)1.286103m2d3.58cm
2-12图示结构中的CD杆为刚性杆,AB杆为钢杆,直径量E=2.0×105MPa。
试求结构的容许荷载F。
解:
(1)求AB杆的轴力FN
MC(Fi)0:
FNsin30o2F2.50
FN2.5F
2)由强度条件求F
2.5FA
3-1试作下列各杆的扭矩图。
3-2一直径d=60mm的圆杆,其两端受外力偶矩
T=2kN·m的作用而发生扭转。
试求横截面上1,
2,
(G=80GPa)。
T2000
3.140.063/16
2
0.0
47.2MPa
点处的切应力和最大切应变,并在此三点处画出切应力的方向。
解:
横截面上切应力大小沿半径线性分布,方向垂直半径
123/331.4MPa
4
max3/G5.9104rad
3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为
分之几?
解:
实心轴
Mx
16Mx
max1
WP1
d3
空心轴max2
Mx
16Mx
WP2
d
3(10.54)
150mm的通孔而成为空心轴,问最大切应力增大了百
16Mx
16Mx
最大切应力增大了max2max1100%
d3(10.54)
d3
d100%
0.54
4100%6.67%
10.54
max1
16Mx
d3
30mm),试求:
(1)轴的最大切应力。
(2)两端截面的相对扭转角
(G=80GPa)。
解:
(1)作扭矩图,
AB段中最大切应力
35.56MPa
CD段中最大切应力
33106
391
24MPa
10
ABCD
л
3-4一端固定、一端自由的钢圆轴,其几何尺寸及受力情况如图所示(空心处有两段,内径10mm,外径
所以轴中,max35.56MPa
(2)相对扭转角分四段计算
Δ
ΔDC
ΔCE
Δ
EB
ΔBA
11
12
11
12
GIP1
GIP2
G
IP1
IP2
400.2300.1
GIP1GIP1
30
0.1
600.15
GIP2
GI
P2
34108134
12
0.011426rad
134108
32
3-5一圆轴AC如图所示。
要使杆的总扭转角为0.12解:
(1)
Mx
(2)
ΔAC
AB段为实心,直径为,试确定BC段的长度
50mm;BC段为空心,外径为50mm,内径为35mm。
a。
设G=80GPa。
作扭矩图
100Nm
杆件A、C截面相对扭转角分两段计算ΔBCΔBA
Mxa
GIP1
Mx0.9a
GIP
100N·m
GIPΔAC
Mx
a
14
0.9
a,
其中
=0.7
0.31596a
GIPΔ
C
A
⊕
M
a
MxAC0.9
a0.405m
3-8传动轴的转速为
n=500转/分,主动轮输入功率P1=500kW,从动轮2、3分别输出功率P2=200kW,
4
]=70MPa,[θ]=1°/m,G=8×104MPa。
d1和BC段的直径d2。
P3=300kW。
已知[τ
(1)确定AB段的直径
(2)若AB和BC两段选用同一直径,试确定直径
1)由输入和输出功率求等效力偶,作扭矩图
d。
解:
9.55
9.55kN
500
200
9.55
500
3.82kN
300
9.55
5.73kN
T1
m
T2
m
m
500
max
Mxmax
WP
9.55103
C
由强度条件:
d13
16
d10.089m
70106
d23
165.73103d20.075m
由刚度条件:
70106
Mxmax
GIP
max
d14
3
329.55103
d24
810102180
325.37103
d10.091m
d20.080m
102
810102180
为满足强度和刚度条件,AB段的直径d取91mm;BC段的直径d取80mm。
(2)若AB和BC两段选用同一直径,直径
d取91mm。
A-2试求图形水平形心轴z的位置,并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。
解:
分三块计算
2
AAi15050501501505022500mm2
形心轴位置
25A175A2175A3h12391.67mm
A
SzA1h25500.025cm3
A-3试计算(b)图形对y,z轴的惯性矩和惯性积。
解:
查型钢表得20a号工字钢几何性质:
h200mm,Iz'2370cm4,Iy'158cm4
'136
故IzIz'20.11.431060.10.014zz12
=237010-8+321010-8=558010-8m4
123
Iy
21.41020.13
12
158108233.3108391.3108m4
由对称性,Iyz0
A-8计算图示(a)图形的形心主惯性矩。
解:
1.首先求形心位置:
150502520050150
h
1505020050
1687500
96.43
17500
2.求惯性矩
Iy
11251531122053
解:
(b)自右向左分析:
1-1截面FQ12F,弯矩M1
2Fl;
2-2截面FQ22F,弯矩M1Fl
c)支座反力FA68820kN
A63
铅直向上)
,自左向右分析:
1-1截面FQ1
6kN,弯矩M112kNm;
4
1406.25208.331614.58cm4
132132
Iz
5203+52015-9.643+1553+5159.643-2.5
1212=3333.3+2869.7+156.25+3826.710185.95cm4
4-1求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。
2-2截面FQ22/3kN,弯矩M212kNm
4-2写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。
解:
支座反力FA
剪力方程:
FQ(x)
52ql,
52ql
3
FB2ql,
2qx(0x
2l)
弯矩方程:
FQ(x)
0(2l
x3l)
M(x)
5qlx
2
qx2(0x
2l)
M(x)
2
ql2(2l
x3l)
由方程作图。
注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。
自左向右分析:
4-3利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
解:
(a)自左向右分析(这样不需要计算固定端反力)梁分3段,5个控制面
FQ10,M13Fl;FQ20,M23Fl
FQ3
F,M3
3.5Fl;FQ4
0,M4
3.5Fl
FQ5
F,M5
4Fl
(b)支座反力FA
29/3kN,FA
13/3kN
梁分
3段,6个控制面
FQ1
0,M14kNm;FQ2
6kN,M2
2kN
FQ3
11/3kN,
M32kNm
FQ4
11/3kN,
M416/3kN
m
FQ5
11/3kN,
M54/3kNm
FQ613/3kN,M60
11/3
13
m
6m
Mmax169/36kNm位置距离右端13/6m
/kN
13/3
M/kN?
m
16/3169/36
5-1图(a)所示钢梁(E=2.0×105MPa)具有(b)、(c)两种截面形式,试分别求出两种截面形式下梁的曲率半径,最大拉、压应力及其所在位置。
解:
(b)截面
max
8103
1
14.81MPa(上拉下压)20.10.182
c)截面
形心位置:
18050251805014082.5mm
218050
Iz
12
1835
18148.25
118531858.252.52
12
2430
2975.6
187.52975.6
4
8568.7cm4
EIz
11
2.01011
8
8568.7108
8103
2142.18m
tmax
Iz
0.08258108
8568.7108
0.08257.7MPa
cmax
Iz
0.230.082513.77MPa
5-4求梁指定截面
a-a上指定点D处的正应力,及梁的最大拉应力
解:
1.求弯矩
B
z
cmax
tmax和最大压应力
支座反力:
FA
10kN
3
a-a截面弯矩
10M
3
6.67kNm
最大弯矩:
max
403
13.34kNm
2.求形心轴
2030
20
1
15
4
12
30152
4
152
20
5465.712.91cm
423.3
Iz
120
12
45000
tmax
Mmax
Iz
cmax
22
1522012.91
154
4
4
2
12.91
64
2620.86-2485.05-8883.1=36252.7cm
303203015
12.91
2
10
3
13.34103
812.91
36252.7108
2
10
4.75MPa
Mmax
Iz
30
12.91
3
213.34103102836252.7108
17.091026.289MPa
截面a-a上指定点D:
mDax
3
6.671032
8207.512.911020.0754MPa36252.7108
5-5图示梁的横截面,其上受绕水平中性轴转动的弯矩。
若横截面上的最大正应力为字形截面腹板和翼缘上,各承受总弯矩的百分之几?
解:
设工字形截面腹板上最大正应力σ1,其承受的弯矩
40MPa,试问:
工
h/2x
2125dxx1041666.71
0h/21翼缘上最大正应力σ2,其承受的弯矩h/2x2
2400dxx5015151.52h/22
2
h/2
Q2
1
11,故腹板上承受总弯矩的百分比为
10
h/2
1041666.71
111000015.8800
1041666.715015151.511011
即翼缘上承受总弯矩的百分比为84.1200
5-6一矩形截面悬臂梁,具有如下三种截面形式:
(a)别计算梁的最大正应力,并画出正应力沿截面高度的分布规律。
整体;(b)两块上、下叠合
(c)两块并排。
试分
解:
(a)固定端弯矩最大最大正应力位于该截面
My
Iz
l
ql2y
13
a2a
12
正应力分布规律
3ql2
4a4y
3ql2
max3
4a
(b)根据变形协调,上下两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2
max
My
IZ
qlly
22
3aa12
3ql2
4ya
3ql2
2a3
(c)两块并排时两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2
My
IZ
q2l2ly
1a
112a2(2a)
3ql2
4a4
2
3ql2
max3
4a
正应力分布规律
5-8一槽形截面悬臂梁,长6m,受q=5kN/m的均布荷载作用,求距固定端为面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。
0.5m处的截面上,距梁顶
解:
根据切应力公式
y
z
z'
FQSZ,需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩
IZb
(1)剪力FQ55.5=27.5kN
(2)形心位置、形心惯性矩,如图
2601401202805025z76.82mm
26014028050
132
IZ2(60140360140(70(76.8250))2)
12
13274
28050328050(76.8250/2)29.9107mm412
3)b-b处切应力
bb
*3
FQSZ*27.5kN(6010063.18mm3)
IZb9.9107108mm460mm
1.77MPa
4)a-a处切应力
由于a-a位于对称轴y轴上,故
aa
5-9一梁由两个18B号槽钢背靠背组成一整体,如图所示。
在梁的a-a截面上,剪力为18kN、弯矩为55kN·m,求b-b截面中性轴以下40mm处的正应力和切应力。
解:
FQ
b-b截面的剪力、弯矩分别为
18304052kN
55181.4301400.3
M
18B号槽钢的几何性质
38.2kNm
h180mm,
4
Iz1369.9cm4,b
zC
70mm,t10.5mm,d
9mm
由正应力公式
0.0455.77MPa
My38.2103IZ1369.92108
切应力公式
FQSZ*
52
103(7010.584.75109939.559.75
109)
IZd
1369.91089103
35.23MPa
50×50mm的木条,如图所
5-10一等截面直木梁,因翼缘宽度不够,在其左右两边各粘结一条截面为示。
若此梁危险截面上受有竖直向下的剪力20kN,试求粘结层中的切应力。
解:
求中性轴位置和Iz
50510012.5
zC10cm
50100
Iz1125103505211220531002.52
2
2500cm2
FQS*z20103251040.025
Qz81.0MPaIzb25001080.05
5-11图示一矩形截面悬臂梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用,其横截面尺寸为b、h,长度为l。
(1)证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力;而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。
(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部,如图所示。
问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?
该面上总的水平剪力FQ′有多大?
它由什么力来平衡?
解:
(1)取x截面左边部分,由其平衡
Fiy0,
dA
A
qx0,
AdAqxFQ
xyqx
2
Mi0,
dA
0,dAy
qxM
A
2
A
2
(2)沿梁长度剪力是线性分布的,该梁为等截面梁,
因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布,由切应力互等,截开面上的切应力τ′沿梁长度是线性分布。
沿梁长度剪力方程FQ(x)qx,横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为
(x)3FQ(x)3qx,宽度方向均匀分布,故总的水平剪力2bh2bh
FQ
l
0(x)bdx
0l3qxbdx
02bh
3ql2
4h
它由固定端约束力平衡。
5-12向下。
试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置,并画出切应力流的流向,设截面上剪力
FQ的方向竖直
解:
A
y
5-14
84
m。
解:
(1)计算支座反力,作弯矩图
(2)校核强度(该梁截面中性轴不对称,正负弯矩最大截面均是可能危险截面)
C截面正弯矩最大
MCymaxtmax
IZ
MCy'maxcmaxIZD截面负弯矩最大
MDymaxtmax
IZ
MDy'maxcmaxIZ符合强度要求
3
2.5100.08828.80MPa
764
108
3
2.51030.052
764
108
4103
0.052
764
108
4103
0.088
764
108
17.02MPa
27.23MPa
46.07MPa
5-15一矩形截面简支梁,由圆柱形木料锯成。
已知F=8kN,a=1.5m,[σ]=10MPa。
试确定弯曲截面系
数为最大时的矩形截面的高宽比h/b,以及锯成此梁所需要木料的最d。
Wz
61bh2
16b(d2b2)
dWz
0
d23b20bd/3
db
Mmax
3
1210333
Wz
61.2103m3
[]
10106
d3
3
Wz=
1.2103
93
d266mm
5-16截面为10号工字钢
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- 材料力学 学生 习题 解答