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第三章季节ARIMA模型
第三章季节时间序列模型
在某些时间序列中,存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化(包括季度、月度、周度等变化)或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
在经济领域中,季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonalARIMAmodel)>用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型(multiplicativeseasonalmodel)o
3.1季节时间序列模型的建立
设季节性序列(月度、季度、周度等序列都包括貝中)的变化周期为S,则通常时间间隔为$的观测值之间存着一定的相关关系。
1、季节差分:
消除季节单位根
与非季节时间序列模型一样,当存在季节单位根时,即季节性时间序列g则首先用季节差分的方法消除季节单位根,即n季节差分算子泄义为,
A=1-2?
也称为$阶差分,则对“进行一次季节差分表示为
4y,=(1-Ls)yf=yt-yt-s
若非平稳季节性时间序列存在D个季仔单位根,则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
即
ADyr=(l-Lv)Dy,
2、季节自回归算子与移动平均算子:
描述季节相关性
类比一般的时间序列模型,序列x,=4中含有季节自相关和移动平均成份意味着,
兀=少兀_$+仪2兀_2$+•••+apj+U,+0m,_s+p2u,_2J+...+0卍j
即九可以建立关于周期为$的P阶自回归。
阶移动平均季节时间序列模型。
如Q)九偸=负Q)他(2.60)
其中如(LXl-a,U-a2L2i-aP厶丹)称为季节自回归算子:
如(Z/)=(1+0心+02厶用)称为
季节移动平均算子(注意季节自回归项和季节移动平均项的表示方法,例如P、0等于2时,滞后算子应为QAZA心)2=0沉对于上述模型,相当于假立⑷是平稳的、非自相关的。
以上模型把序列中的季节单位根、季节相关成份描述完了,那么如果山是我们前而描述的ARIMA^q)过程呢?
或者说中还含有单位根以及一般的自回归、移动平均成份呢?
3、季节时间序列模型的一般形式:
乘积季节模型
当给非平稳且存在ARMA成分时,则可以把⑷描述为
乌(L)4%=Qq(L)vt(2.61)
其中山为白噪声过程,“7分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数,d表示山的一阶(非季节)差分次数。
由上式得
Ui= 把(2.62)式代入(2.60)式,于是得到季节时间序列模型的一般表达式。 p(厶)Ap(Lx)(04/®)=Oq(L)Bq(U)vr其中下标P,Q,p,q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数,d,D分别表示非季节和季节性差分次数。 上式称作(p.cl,q)x(P.D.Q)x阶季节时间序列模型或乘积季节模型。 当协方差平稳序列才仏/®含有均值“等确定性成分时(通常如此),上述模型表示为, 颈厶)Ap(Ls)-“)=型(厶)Bq{D)vt(2.64) 保证(zfW伽)具有平稳性的条件是©,(L)W)=0的所有根在单位圆外;保i正(4%愉)具有可逆性的条件是Q4B伯=0的所有根在单位圆外。 当p=d=q=o时,SARIMA模型退化为ARIMA模型: 从这个意义上说,ARIMA模型是SARIMA模型的特例。 当P=D=Q=p=q=d=O^,SARIMA模型退化为白噪声模型。 (L1,l)x(1,1,IM阶月度SARIMA模型表达为 (1-0厶)(1-6L12)zlZh2N=(1+GL)(1+0|L12)v,(2.65) 必2%具有平稳性的条件是|如<1,必2升具有可逆性的条件是|3|<1,|0|| 3.2季节时间序列模型的识别 建立SARIMA模型, (1)首先要确泄d.D。 通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。 令 存在一般单位根时相应相关图的呈缓慢线性衰减。 存在季节单位根的特征是相应的相关图中$整数倍时点上的值呈缓慢衰减。 (2)然后用xt建立©(L)Ap(U)xt=型(厶)Bq(U)v,模型。 或臨(L)Ap(Z? )(x-“)=Q(L)Bq(L$)刃模型。 以相关图和偏相关图为例,如果相关图和偏相关图在变化周期s的整数倍时点上出现绝对值相当大的峰值或衰减变化,就可以认为该时间序列可以用SARIMA模型描述。 对乘积季2模型的季节阶数,即周期长度s的识別可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。 (3)用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1,P和Q不会大于3。 3.3季节时间序列模型的估计、检验与预测 设有季节时间序列X,为了消除其异方差,并线性化,首先对其取对数,令>-r=10g(yf),则变在EVicws中用DLOG(Y,1,12)表示(这样表示的好处是EViews可以直接预测到Y)。 其他取对数及差分的Eviews命令如下表, 命令 数学表达式 含义 d⑴ (1 -L)Y 对Y进行一次差分 d(Y.n) (1 -L)nY 对Y进行“次差分 d(Y.nts) (1 -L)n(i 对Y进行“次差分和一次季节差分 dlo^Y) (1 -L)log(Y) 对Y取自然对数后进行一次差分 cllog(Y.n) (1 -E)nlog(Y) 对Y取自然对数后进行"次差分 dlog(Ygs) (1 -Dw(i-LW(r) 对丫取自然对数后进行“次差分和一次季节差分 则上述(2.65)式的EViews估计命令是 DLOG(Y.1,12)AR (1)SAR(12)MA (1)SMA(12) (0,L1)X(0,L1)12阶月度SARIMA模型表达为 4zb? N=(1+&厶)(1+0iL12)vt(2.66) (2.66)式的EViews估计命令是 DLOG(Y.1,12)MA (1)SMA(12) 由(2.66)式得 Adi2J;=(1+GL)(l+0iL12)vt=vz+6\LV/+0】Li2vf+0\/? )ZJ讪 =Vt+0\V/-1+01Vr-12+刃-13(2.67) (2.67)式也可以用如下的EViews命令估计 DLOG(YJ」2)MA (1)MA(12)MA(13) 上述估计命令对应的模型表达式是 丛12升=力+&】Vr_i+012刃-12+03刃-13 这是一个非季节模型表达式。 以上两个EViews估计命令都是估计MA(13)模型。 注意: 唯一不同点是上式对叭13的系数没有约束,而对季节模型来说,相当于增加了一个约束条件,仇. 运用(2.67)式进行预测,JJ12yt-V;+6\v/-i+0ivf_12+6\p\v,-n 而yt=J(y/-yr-i2)=zl卩一4刃・12=片一“・i+)讥i2-y/-i3 在这个例子中,用于预测模型的最终形式是 升=y八1+y八12一刃-13+V/+&1Vj_)+01Vf_i2+0\0]Vf_13(2.68) 从上式可以看岀SARIMA模型可以展开为带有约朿的ARIMA模型。 乘积季节模型参敦的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。 利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。 3.4季节时间序列建模案例 案例1: (文件名: 5b2c3)北京市1978: 1-1989: 11社会商品零售额月度数据(刃,单位: 亿元人民币)曲线见图2.32,数据见表2.3。 “与时间呈指数关系且存在递增型异方差。 对数的社会商品零售额月度数据(SQ曲线见图2.33。 厶卩力与时间近似呈线性关系(异方差问题也得到抑制)。 通过厂小的相关图和偏相关图(见图2.34)可以看到”勿是一个非平稳序列(相关图衰减很慢)且乙》与其12倍数的滞后期存在自回归关系。 C001094862二旦更工里里、凹里£為离目芯刃円R円爲拆鬲翳丹鬲沿汨济 Uorcajea9n< 图2.34Lnp的相关图(下)和偏相关图(上) 对乙莎进行一阶差分,得也卩(图2.35)。 图2.36是对厶》进行2次一阶差分的结果,序列S-Lnyt是过度差分序列。 从血》的相关图和偏相关图(图2.37)可以看到,通过差分庞,勿的平稳性得到很大改进,但与英12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。 图2.37血卩的相关图(下)和偏相关图(上) 对S”进行一次季节性差分(或12阶差分),得AnLny,(图2.38)。 从A^Lfiy,的相关图和偏相关图(图2.39)可以看到加厶心仍然是非平稳的° lo&o匕00-Ered 图2.38AnUiyn(EViews: DLOG(Y.OJ2)) CER59Z862二密空二竺竺二竺密忍&离出禺焉周冷启石H希离启舄常 图2.39加如的相关图(下)和偏相关图(上) 对3“进行一阶差分和一阶季节性差分,得Adi2L«yr(见图2.40)o从川的相关图和偏相关图(见图2.41)可以看到近似为一个平稳过程。 图2.40AAxiLny^xn(EViews: DLOG(Yl」2)) CER59Z862二密巴二空竺二&离启禺焉岗拎启石需希离启舄常 图2.41dJxLnw的相关图(下)和偏相关图(上) 从图中观察,发现0加5「序列不含有均值。 用1978: 1-1989: 11期间数据,估计h的(1,1,1)x(1.1,0)12阶季节时间序列模型(加入SMA(12)项发现其参数不显著),EViews估计命令是 DLOG(Y.1J2)AR (1)SAR(12)MA (1) EViews输出结果见图2.42O DependentVariable: DL0G(Y.1.12) Method: LeastSquares Date: 12/23/04Time: 11: 18 Sample(adjusted): 1980: 031989: 11 Includedobservations: 117alteradjustingendpoints Convergenceachievedafter10iterations Backcast: 1980: 02 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob. AR (1) -0.592358 0.132911 ■4.456790 0.0000 SAR(12) -0.409285 0.075621 -5.412314 0.0000 MA (1) 0.473370 0.164168 2.883453 0.0047 R-squared 0.329337 Meandependentvar -0.002771 AdjustedR-squared 0.317571 S.D.dependentvar 0.043374 S.E.ofregression 0.035831 Akaikeinfocriterion -3.794721 Sumsquaredresid 0.146357 Schwarzcriterion -3.723896 Loglikelihood 224.9912 Durbin-Watsonstat 2.079944 InvertedARRoots .90+.24i .90-,24i .66-.66i .66+.66i .24+.90! .24-,90i -.24+.90! -.24-.90i -.59 -.66+.66i -.66+.66i -.90-.24i -.90+.24i InvertedMARoots -.47 图2.42EViews估汁结果 根据EViews输出结果写表达式• (1+0.5924厶)(1+0.4093L12)=(1+0.4734L)vf(2.69) (45)(-54)(2.9) R2=0.33,s.e.=0.146.Q$6=15.5,Fu.u5(%・2・i)=44 注意: (1)仔细对照(2.69)式和图2.42输出结果,不要把自回归系数估计值的符号写错。 通过自回归特征根倒数-0.59可知,把表达式中的算子写作(1+0.5924L)是正确的。 通过移动平均特征根倒数-0.47可知,把表达式中的算子写作(1+0.4734L)是正确的。 (2)表达式中,季节和非季节因子(特征多项式)之间是相乘关系。 (3)在EVicws估计命令中把变疑写作DLOG(Y.l,⑵的好处是可以直接对“和Adi2Lnyt预测。 模型残差序列的相关与偏相关图如图2.43。 图2.43模型残差序列的相关与偏相关图 对于zims”来,模型参数全部有显著性,&=15.5<220.05(36-2-1)=44.两种检验通过。 见输出结果(2.42),对于AAnLnyn模型共有14个特征根。 图2.44D门Dg的实际与预测序列图2.45”的实际与预测序列 对1989年第12月份片进行样本外1期预测,结果如图246。 View|Procs|Objects|Print|llsjrieE obs Y YF 1989: 11 641.9000 666.9066 1989: 12 734.1000 789.9188 图2.46EViews预测结果 7X99_7341 相对预测误差是厂一^"。 76 另外,用1978: 17989: 11期间数据估计EViews(0,L1)x(0,1,1)12模型发现,该模型也是一个可以选用的模型。 表2.3北京市社会商品零售额(V;)丿]度数据(单•位: 亿元人民币•1978: 2989: 12) 年: 月 卩 年: 月V/ 年: 月 年: JJV/ 年: 月 V/ 1978: 01 134.3 1980: 06 168.2 1982: 11 205.8 1985: 04 343.4 1987: 09 499.5 1978: 02 119.4 1980: 07 163.5 1982: 12 248.2 1985: 05 341.2 1987: 10 505.2 1978: 03 128.3 1980: 08 161.6 1983: 01 243.2 1985: 06 346.0 1987: 11 518.7 197&04 126.4 1980: 09 172.9 1983: 02 217.5 1985: 07 329.9 1987: 12 617.9 1978: 05 128.8 1980: 10 166.5 1983: 03 226.2 1985: 08 32&1 1988: 01 570.7 1978: 06 127.8 1980: 11 175.2 1983: 04 223.5 1985: 09 358.2 1988: 02 5613 1978: 07 121」 1980: 12 197.7 1983: 05 221.0 1985: 10 358.4 1988: 03 570.4 1978: 08 11&4 1981: 01 212」 1983: 06 220.5 1985: 11 376.6 1988: 04 567.9 1978: 09 125.7 1981: 02 177.9 1983: 07 205.8 1985: 12 451.0 1988: 05 570.9 1978: 10 123.6 1981: 03 182.9 1983: 08 206.9 1986: 01 412.0 1988: 06 603.9 1978: 11 128.5 1981: 04 184.2 1983: 09 218.8 1986: 02 374.5 1988: 07 591.8 1978: 12 145.2 1981: 05 184.0 1983: 10 216.0 1986: 03 390.0 1988: 08 636.2 1979: 01 164.7 1981: 06 182.4 1983: 11 235.0 1986: 04 387.0 1988: 09 674.5 1979: 02 126.2 1981: 07 175.6 1983: 12 282.0 1986: 05 389.8 1988: 10 647.7 1979: 03 143.7 1981: 08 172.0 1984: 01 268.4 1986: 06 397.7 198&11 640.5 1979: 04 143.7 1981: 09 184.9 1984: 02 227.6 1986: 07 381.4 1988: 12 804.2 1979: 05 145.5 1981: 10 184.7 1984: 03 248.6 1986: 08 386.9 1989: 01 694.3 1979: 06 143.7 1981: 11 195.1 1984: 04 247.0 1986: 09 429.8 1989: 02 673.8 1979: 07 138.4 1981: 12 224.8 1984: 05 249.9 1986: 10 428.8 1989: 03 718.7 1979: 08 136.7 1982: 01 233.6 1984: 06 253」 1986: 11 444.4 1989: 04 690.3 1979: 09 145.5 1982: 02 182.0 1984: 07 245.5 1986: 12 527.7 1989: 05 676.6 1979: 10 150.7 1982: 03 206.6 1984: 08 249.6 1987: 01 478.3 1989: 06 665.8 1979: 11 149.0 1982: 04 202.2 1984: 09 272.3 1987: 02 442.4 1989: 07 642.2 1979: 12 164.7 1982: 05 201.7 1984: 10 278.7 1987: 03 461.4 1989: 08 638.9 1980: 01 190.3 1982: 06 202.6 1984: 11 299.4 1987: 04 458.2 1989: 09 674.1 1980: 02 174.9 1982: 07 192.8 1984: 12 366.3 1987: 05 458.2 1989: 10 652.7 1980: 03 163.2 1982: 08 186.2 1985: 01 364.8 1987: 06 468.5 1989: 11 641.9 1980: 04 168.4 1982: 09 199.3 1985: 02 349」 1987: 07 454.5 1989: 12 734」 1980: 05 168.6 1982: 10 198.2 1985: 03 359」 1987: 08 458.9 案例2香港季节GD巴数据的拟合(季节时间序列模型,file: HongKong)1980: 1-2002: 3年香港季度GDE序列曲线见图2.27(数据见表2.4,单位: 港元)。 1980-1997年GDH随时间呈指数增长。 1997年由于遭受东南亚金融危机的影响,经济发展处于停滞状态,1998~2002年底GDP,总呈: 几乎没有增长。 另一个特征是GD几随时间呈递增型异方差。 所以,用对数的季度GDR数据(SGDP”曲线见图2.48)建立季节时间序列模型。 图2.47GDP,图2.48biGDP, 通过SGDB的相关图和偏相关图(图2.49)可以看到biGDP,是一个非平稳序列(相关图衰减得很慢)。 AutocorrelationPartialCorrelation 图2.49btGDP(的相关图和偏相关图 对LnGDP,进行一阶差分,得ALnGDPI(见图2.50)oAbiGDPr的平稳性得到很大改进,4乙皿£)戸显然是过度差分序列(图2.52)。 但其季节因素影响还很大。 从OLnGDPt的相关图和偏相关图(图2.51)也可以明显地看到这个特征。 若对LnGDP,直接进行一次季节差分(四阶差分),得皿GDP『见图2.53“其波动性也很大。 相关图和偏相关图见图2.54o Auiocorrel^iionPartialCorrelation 201510050081015 QQQQQO.O.O. —DLOG(GDP) •Ob'gb 9i•gb & -------- 1234567'89017-3456 图2.50ALnGDPf.(s.d.=0.062) 图2.51AbiGDPt的相关图和偏相关图 •0.2・ 8t) -0.1- 0.0. 0.1. 图2.52皿GDP- (s.d.=0.062) AuiocorrelationPartialCorrelation 0.3 0.2- 0.1. 」=r1nn一三Mn「nn 0.0. —DLOG(GDP.0.4) 12345678Q.-0123456di1—di1—4—d—^1 图2.53AxbiGDPh(s.d.=0.076) 在的基础上进行一阶季节差分, 图2.54Z1厶GDP的相关图和偏相关图或在4SGDP(基础上进行一阶非季节差分,得^ALiGDP,(图2.55)。 苴相关图和偏相关图见图2.56。 ^ALnGDP,中已经基本消除了季节变化因素。 在A^ADiGDPl的基础上建立时间序列模型。 图2.56虫皿GDP(的相关和偏相关图 应该建立(2,1,2)x(1,1,1)4模型。 EViews 图2.55AALnGDP—(s.d.=0.029) 通过对AALnGDP,的相关和偏相关图分析,估计命令是 DLOG(GDRL4)CAR (1)AR (2)SAR(4)MA (1)MA (2)SMA(4) 用1980: 14002: 3的数据得估计结果如下(EVicws输岀结果如图2.57): (hl.20L+0.66L2)(l-0.33L4)^ALnGDP^0.0023)=(1-1.16L+0.97L2)(1-0.
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