第1章 11 研究简谐运动.docx
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第1章11研究简谐运动
1.1 研究简谐运动
学习目标
知识脉络
1.知道什么是弹簧振子,理解振动的平衡位置和位移.
2.理解简谐运动的概念及描述简谐运动的物理量.(重点)
3.能从简谐运动图像中了解简谐运动的规律.(重点、难点)
4.掌握在一次全振动过程中位移随时间变化的规律.(难点)
弹簧振子
1.弹簧振子
在一根水平的光滑金属杆上穿一根轻质螺旋弹簧,弹簧一端固定,另一端和一个质量为m的带孔小球(振子)相连接,这样就构成了一个弹簧振子.
球与杆间的摩擦不计,弹簧的质量与小球质量相比可以忽略.
2.平衡位置
振子原来静止时的位置.
3.振动
振子以平衡位置为中心的周期性的往复运动,是一种机械振动,简称振动.
4.全振动
图111
小球从O到B,再从B到A,最后回到O的过程.
5.位移—时间图像
(1)以小球的平衡位置为坐标原点,用横坐标表示振子振动的时间,纵坐标
表示振子相对平衡位置的位移,建立坐标系,如图112所示,这就是弹簧振子运动时的位移时间图像.
图112
(2)位移—时间图像(xt图像)的物理意义
振动图像表示振动物体相对平衡位置的位移随振动时间的变化规律.
(3)理论和实验都表明,弹簧振子振动时,其位移—时间图像是正弦(或余弦)曲线.
1.弹簧振子是一种理想化的模型.(√)
2.弹簧振子的平衡位置都在弹簧原长处.(×)
3.振动的物体可以做直线运动,也可以做曲线运动.(√)
如图113在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有几个?
动能最大的位置有几个?
图113
【提示】 在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有两个,分别对应于振子运动的最左端和最右端.动能最大的位置只有一个,就是弹簧振子运动到平衡时的位置.
1.机械振动的理解
(1)机械振动的特点
①振动的轨迹:
可能是直线,也可能是曲线.
②平衡位置:
质点原来静止时的位置.从受力角度看,应该是振动方向上合力为零的位置.
③振动的特征:
振动具有往复性.
(2)振动的条件
①每当物体离开平衡位置后,它就受到一个指向平衡位置的力,该力产生使物体回到平衡位置的效果(这样的力称为回复力,在第2节中我们将学到).
②受到的阻力足够小
如果物体只受到指向平衡位置的力而阻力为零,则物体做自由振动,当然这是一种理想模型.
2.弹簧振子的位移—时间图像
反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律,弹簧振子的位移—时间图像是一个正(余)弦函数图像.图像不是振子的运动轨迹.
1.下列运动中属于机械振动的是( )
A.小鸟飞走后树枝的运动
B.爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C.匀速圆周运动
D.竖直向上抛出的物体的运动
E.人说话时声带的振动
【解析】 物体在平衡位置附近所做的往复运动是机械振动,A、B、E正确.圆周运动和竖直上抛运动不是机械振动.
【答案】 ABE
2.如图114所示,弹簧下端悬挂一钢球,上端固定组成一个振动系统,用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,下列说法正确的是( )
图114
A.钢球运动的最高处为平衡位置
B.钢球运动的最低处为平衡位置
C.钢球速度最大处为平衡位置
D.钢球原来静止时的位置为平衡位置
E.钢球在平衡位置时所受合力为零
【解析】 钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹力大小相等的位置,即钢球静止时的位置,故C、D、E正确.
【答案】 CDE
3.如图115所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像,下列有关该图像的说法中正确的是( )
【导学号:
38910000】
图115
A.该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置
B.从图像可以看出小球在振动过程中是沿x轴方向移动的
C.从图像可以看出小球在振动过程中是沿y轴方向移动的
D.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移,让底片沿垂直x轴方向匀速运动
E.图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同
【解析】 从图像中能看出坐标原点在平衡位置,A正确.横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移,但可以转化为时间轴,弹簧振子只在y轴上振动,所以B、D错误,C正确.图像中相邻弹簧振子之间的时间间隔相同,密处说明位置变化慢,E正确.故正确答案为A、C、E.
【答案】 ACE
对弹簧振子的说明
弹簧振子有多种表现形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大.
简谐运动及其图像
1.简谐运动
(1)如果质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律,这样的振动就叫简谐运动.
(2)简谐运动是最简单、最基本的振动,弹簧振子的运动就是简谐运动.
2.简谐运动的图像
简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)曲线,表示简谐运动的质点位移随时间变化的规律.
1.简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹.(×)
2.物体运动的方向可以通过简谐运动图像的走势来判断.(√)
3.做简谐运动物体的位移越大,速度越小,在最大位移处,速度为零.(√)
有同学说,既然弹簧振子的振动图像是一条正弦曲线,那么振子的运动轨迹也应是正弦曲线,结合水平方向的弹簧振子想一下,这种说法对吗?
为什么?
【提示】 不对.因为振动图像不是运动轨迹.例如:
水平方向的弹簧振子振动时,运动轨迹为一条直线.
1.简谐运动位移的理解
(1)振动位移是从平衡位置指向振子某时刻所在位置的有向线段,方向为平衡位置指向振子所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离.
(2)振动位移也是矢量,若规定振动质点在平衡位置右侧时位移为正,则它在平衡位置左侧时位移就为负.
(3)位移的表示方法(如图116所示):
以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为x坐标轴,规定正方向,用振动图像中该时刻振子所在的位置坐标来表示.在t1时刻振子的位移为x1,t2时刻振子的位移为x2,t4时刻为-x4.
图116
2.对简谐运动图像的理解
(1)形状
正(余)弦曲线.
(2)物理意义
表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律.
(3)获取信息
①任意时刻质点位移的大小和方向.如图117所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2.
图117
②任意时刻质点的振动方向:
看下一时刻质点的位置,如图中a点,下一时刻离平衡位置更远,故a此刻向上振动.
4.如图118所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,当振子m离开O点,再从A点运动到C点时,下列说法正确的是( )
图118
A.位移大小为OC
B.位移方向向右
C.位移大小为AC
D.位移方向向左
E.振子从A点运动到C点时,加速度方向与速度方向相同
【解析】 振子离开平衡位置,以O点为起点,C点为终点,位移大小为OC,方向向右,从A到O是加速运动.选项A、B、E正确.
【答案】 ABE
5.如图119所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题:
图119
(1)质点离开平衡位置的最大距离有多大?
(2)在1.5s和2.5s两个时刻,质点分别向哪个方向运动?
(3)质点在第2秒末的位移是多少?
在前4秒内的路程是多少?
【解析】 由图像提供的信息,结合质点的振动过程可知:
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是振幅的大小,为10cm.
(2)t=1.5s时和t=2.5s时图像斜率都为负,即质点都向负方向运动,1.5s时向着O点运动,2.5s时远离O点运动.
(3)质点在2秒末处在平衡位置,因此位移为零.质点在前4秒内完成一个周期性运动,其路程为10×4cm=40cm.
【答案】
(1)10cm
(2)见解析 (3)0 40cm
简谐运动图像的应用技巧
1.判断质点任意时刻的位移大小和方向:
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小.方向由坐标值的正、负判断或质点相对平衡位置的方向判断.
2.振动图像的斜率表示该时刻质点的速度大小和方向,斜率的绝对值表示速度的大小,斜率的正、负表示速度的方向.由此可以判断振动物体在某一时刻的速度的大小和方向,也可以比较振动物体在各个不同时刻的速度的大小及方向关系.
描述简谐运动的物理量
1.周期T
做简谐运动的物体完成一次全振动所经历的时间叫做振动的周期.
2.频率f
单位时间内物体完成全振动的次数叫做振动的频率.
3.某物体振动的周期T和频率f的关系式
T=
或f=
.
4.振幅A
简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移叫做振幅,振幅是标量.它反映了物体运动幅度的大小.
1.振幅就是振子的最大位移.(×)
2.从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期.(×)
3.振动物体的周期越大,表示振动的越快.(×)
1.做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程,是否就是一次全振动?
【提示】 不一定.只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程,才是一次全振动.
2.如果改变弹簧振子的振幅,其振动的周期是否会改变呢?
弹簧振子的周期与什么因素有关呢?
我们可以提出哪些猜想?
怎样设计一个实验来验证这个猜想?
【提示】 猜想:
影响弹簧振子周期的因素可能有:
振幅、振子的质量、弹簧的劲度系数等.我们可以设计这样一个实验:
弹簧一端固定,弹簧的另一端连着有孔小球,使小球在光滑的水平杆上滑动.通过改变振幅、振子的质量和弹簧的劲度系数,测量不同情况下振子的周期,注意在改变一个物理量的时候其他物理量应保持不变.
1.振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移:
振动中的位移是矢量,振幅是标量.在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.
(2)振幅与路程:
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:
一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅.
(3)振幅与周期:
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.
2.对全振动的理解
(1)全振动的定义:
振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动.
(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的三个特征.
①物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同.
②时间特征:
历时一个周期.
③路程特征:
振幅的4倍.
6.如图1110所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,则( )
图1110
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.OB不一定等于OC
E.B、C两点是关于O点对称的
【解析】 O点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍,即A正确;若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,即B错误;若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍,即C正确;因弹簧振子的系统摩擦不考虑,所以它的振幅一定,即D错误,E正确.
【答案】 ACE
7.一个物体做简谐运动时,周期是T,振幅是A,那么物体( )
A.在任意
内通过的路程一定等于A
B.在任意
内通过的路程一定等于2A
C.在任意
内通过的路程一定等于3A
D.在任意T内通过的路程一定等于4A
E.在任意T内通过的位移一定为零
【解析】 物体做简谐运动,是变加速直线运动,在任意
内通过的路程不一定等于A,故A错误;物体做简谐运动,在任意
内通过的路程一定等于2A,故B正确;物体做简谐运动,在任意
内通过的路程不一定等于3A,故C错误;物体做简谐运动,在一个周期内完成一次全振动,通过的位移为零,路程为4A,故D、E正确.
【答案】 BDE
8.弹簧振子从距平衡位置5cm处由静止释放,4s内完成5次全振动,则这个弹簧振子的振幅为______ cm,振动周期为________s,频率为________Hz,4s末振子的位移大小为________cm;4s内振子运动的路程为________cm;若其他条件都不变,只是使振子改为在距平衡位置2.5cm处由静止释放,则振子的周期为________s.
【解析】 根据题意,振子从距平衡位置5cm处由静止开始释放,说明弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的最大距离是5cm,即振幅为5cm,由题设条件可知,振子在4s内完成5次全振动,则完成一次全振动的时间为0.8s,即T=0.8s;又因为f=
,可得频率为1.25Hz.4s内完成5次全振动,也就是说振子又回到原来的初始位置,因而振子的位移大小为5cm,振子一次全振动的路程为20cm,所以5次全振动的路程为100cm,由于弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子质量决定,其周期与振幅大小无关,所以从距平衡位置2.5cm处由静止释放,不会改变周期的大小,仍为0.8s.
【答案】 5 0.8 1.25 5 100 0.8
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.一个周期内的路程为4倍的振幅,半个周期内的路程为2倍的振幅.
1.若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处,
周期内的路程等于振幅.
2.若从一般位置开始计时,
周期内的路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅.
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