郑州市高二数学上学期期中试题理.docx
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郑州市高二数学上学期期中试题理
2017-2018学年高二上学期期中考试
数学试卷(理科)
注意:
本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效,不予记分。
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,5,9},集合B={4,5,6,7,9},则(∁UA)∩(∁UB)=()
A.{5,9}
B.{2,3}
C.{1,8,10}
D.{4,6,7}
2.已知在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,若A:
B:
C=1:
2:
3,则a:
b:
c=()
A.1:
2:
3
B.
C.
D.
3.设x>1,则x+
的最小值是()
A.4
B.5
C.6
D.7
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a8=6+a11,则S9的值等于()
A.54
B.45
C.36
D.27
5.已知数列{an}为等比数列,其前n项和Sn=3n-1+t,则t的值为()
A.-1
B.-3
C.
D.1
6.在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若该三角形有两个解,则x的取值范围是()
A.x>2
B.x<2
C.
D.
7.裴波那契数列的通项公式为an=
[(
)n-(
)n],又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例,由此,a5=()
A.3
B.5
C.8
D.13
8.在正项等比数列{an}中,a1008•a1009=
,则lga1+lga2+…+lga2016=()
A.2015
B.2016
C.-2015
D.-2016
9.关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则不等式
>0的解集为()
A.(-1,2)
B.(-∞,1)∪(1,2)
C.(1,2)
D.(-∞,-1)∪(-1,2)
10.在△ABC中,若
=
,则△ABC的形状是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
11.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.
甲说:
我在1日和3日都有值班;
乙说:
我在8日和9日都有值班;
丙说:
我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是()
A.2日和5日
B.5日和6日
C.6日和11日
D.2日和11日
12.若关于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1,另一根小于1,则a的取值范围为()
A.0<a<1
B.a>-1
C.-1<a<1
D.a<1
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=-1,an+1=2Sn,(n∈N*),则Sn=______.
14.在约束条件
下,目标函数z=|x-y+4|的最大值为______.
15.在△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高,已知CD=60,AD=25,求BD=______.
16.若-1<a<0,则不等式
-
的最大值为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.解不等式:
ax2-2(a+1)x+4>0.
18.已知数列{an}满足:
an≠0,a1=
,an-an+1=2an•an+1.(n∈N*).
(1)求证:
{
}是等差数列,并求出an;
(2)证明:
a1a2+a2a3+…+anan+1<
.
19.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acosC-bcosC=ccosB-ccosA,且C=120°.
(1)求角A;
(2)若a=2,求c.
20.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(1)求a1和a2的值;
(2)求数列{an},{bn}的通项an和bn;
(3)设cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房,银行贷款的年利率为4%,按复利计算,要求从贷款开始到2010年要分10年还清,每年年底等额归还且每年1次,每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)?
(提示:
(1+4%)10≈1.48)
22.在△ABC中,a,b,c分别表示角A,B,C对边的长,满足(2b-c)cosA=acosC
(1)求角A的大小;
(2)已知BC=6,点D在BC边上,
①若AD为△ABC的中线,且b=2
,求AD长;
②若AD为△ABC的高,且AD=3
,求证:
△ABC为等边三角形.
答案和解析
【答案】
1.C 2.C 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.C 10.D 11.C 12.C
13.-3n-1
14.5
15.144
16.-3-2
17.解:
∵ax2-2(a+1)x+4>0,
∴(ax-2)(x-2)>0,
1、a=0时,原不等式的解集为{x|x<2};
2、a<0时,原不等式的解集为{x|
<x<2};
3、0<a<1时,原不等式的解集为{x|x>
或x<2};
4、a=1时,原不等式的解集为:
{x|x≠2,x∈R};
5、a>1时,原不等式的解集为{x|x<
或x>2}.
18.证明:
(1)a1=
,an-an+1=2an•an+1.可得
-
=2,则{
}是首项为3,公差为2的等差数列,
=
+2(n-1)=3+2(n-1)=2n+1,
即有an=
;
(2)证明:
a1a2+a2a3+…+anan+1=
+
+…+
=
(
-
+
-
+…+
-
)
=
(
-
)=
-
•
<
.
19.解:
由正弦定理,得:
sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosA,
整理得:
sinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosC,即sin(A+C)=sin(B+C),
∴sinB=sinA,又C=120°,
∴B=A=30°,
∵a=2,∴b=2,
∴由余弦定理得:
a2+b2-2abcosC=4+4-2×2×2×(-
)=12,
∴c=2
.
20.解:
(1)∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2,解得a1=2
a1+a2=S2=2a2-2,解得a2=4
(2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,
又Sn-Sn-1=an,n≥2
∴an=2an-2an-1,
∵an≠0,
∴
=2(n≥2),即数列{an}是等比数列,∵a1=2,∴an=2n
∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0,
∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又b1=1,∴bn=2n-1,
(3)∵cn=(2n-1)2n
∴Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)2n,
∴2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1
因此:
-Tn=1×2+(2×22+2×23+…+2×2n)-(2n-1)2n+1,
即:
-Tn=1×2+(23+24+…+2n+1)-(2n-1)2n+1,
∴Tn=(2n-3)2n+1+6
21.解:
50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等,故有
购房款50万元十年的本息和:
50(1+4%)10…4分
每年存入x万元的本息和:
x•(1+4%)9+x•(1+4%)8+…+x…(8分)
=
•x…(10分)
从而有50(1+4%)10=
•x
解得:
x≈6.17(万元)…12分
22.(本小题满分16分)
解:
(1)由正弦定理得(2sinB-sinC)cosA=sinAcosC.…(2分)
所以2sinBcosA=sinB,所以cosA=
,…(4分)
因为0°<A<180°,所以A=60°.…(5分)
(不给A的范围扣1分)
(2)①由正弦定理得
=
,
又因为BC=6,b=
,A=60°,所以sinB=
.…(7分)
因为0°<B<180°,所以B=30°或B=150°.
…(8分)
因为A+B<180°,所以B=30°.…(10分)
因为D是BC的中点,所以DC=3.
由勾股定理知AD=
.…(11分)
②因为
=
,
又因为AD=
,BC=6,sinA=
,所以AB×AC=36…(13分)
因为BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,所以AB2+AC2=72,
…(15分)
所以AB+AC=12,所以AB=AC=6.
所以△ABC为等边三角形.
…(16分)
本题第3问若用两角和与差的正切公式也给分
【解析】
1.解:
∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,5,9},集合B={4,5,6,7,9},
∴∁UA={1,2,4,6,7,8,10},∁UB={1,2,3,8,10},
则(∁UA)∩(∁UB)={1,8,10}.
故选:
C.
根据全集U,以及A与B,求出A与B的补集,找出两补集的交集即可.
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
2.解:
由题意:
∵角A,B,C是△ABC的内角,
∴B+A+C=π
∵A:
B:
C=1:
2:
3,
∴A=30°,B=60°,C=90°
根据正弦定理:
sinA:
sinB:
sinC=a:
b:
c
∴a:
b:
c=1:
:
2
故选C.
根据三角形内角和定理和正弦定理即可求解.
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题.
3.解:
∵x>1,∴
+1=5.当且仅当x=3时取等号.
故选B.
利用基本不等式即可得出.
熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键.
4.解:
∵2a8=a11+6
由等差数列的性质可得,2a8=a11+a5=a11+6
从而可得,a5=6
由等差数列的前n项和可得,
故选:
A
由已知2a8=a11+6,结合等差数列的性质可得,2a8=a11+a5=a11+6从而可得,a5=6,代入等差数列的前n项和
,然后利用利用等差数列的性质及所求的a5的值代入可求得答案.
本题主要考查了等差数列的前n项和的求解,关键是由已知2a8=a11+6,结合等差数列的性质可得,2a8=a11+a5=a11+6,求出a5,在求和时利用等差数列的和时又一次利用了性质a1+a9=2a5.灵活利用等差数列的性质是解得本题的关键.
5.解:
∵等比数列{an}的前n项和Sn=3n-1+t,
∴n=1时,a1=S1=1+t;
n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1+t-(3n-2+t)=2×3n-2,
n=1时上式成立,∴1+t=2×3-1,解得t=-
.
故
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