极限证明精选多篇最新Word文件下载.docx
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limx?
f?
x.
8.a1?
1,an?
1,求证:
ai有极限存在。
an?
1
t?
x9.设函数f定义在?
a,b?
上,如果对每点xa,b?
极限limf?
t?
存在且有限(当x?
a或b时,
为单侧极限)。
证明:
函数f在?
上有界。
10.设limnan?
a,证明:
lima1?
2a2?
nana?
.n2n2
11.叙述数列?
an?
发散的定义,并证明数列?
cosn?
发散。
12.证明:
若?
af?
dx收敛且limx?
,则0.
11?
收敛。
?
n?
.求证:
22an?
1an13.a?
0,b?
0.a1?
a,a2?
b,an?
n
14.证明公式?
k?
11k?
2n?
cn,其中c是与n无关的常数,limn?
0.
15.设f?
在[a,)上可微且有界。
证明存在一个数列?
xn[a,?
),使得limnxn?
且limnf'
xn0.
16.设f?
u?
具有连续的导函数,且limu?
f'
ua?
0,dx,y?
|x2?
y2?
r2,x,y?
r?
0?
.
i
limuf?
u;
求ir?
x2?
dxdy;
3?
求limr2
r
d
17.设f?
于[a,)可导,且f'
xc?
c为常数?
证明:
x;
于[a,)必有最小值。
18.设limn?
a,limn?
bn?
b,其中b?
0,用n语言证明lim
ana?
n?
bbn
sn?
x19.设函数列?
x的每一项sn?
都在x0连续,u是以x0为中心的某个开区间,
在ux0?
内闭一致收敛于s?
又limnsn?
x0,证明:
lims?
x?
x0
20.叙述并证明limx?
存在且有限的充分必要条件?
柯西收敛原理?
a
23.设?
f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?
a,?
上一致连续,?
24.设a1>
0,an?
1=an+,证明=1nan25.设f?
在a的某领域内有定义且有界,对于充分小的h,m?
h?
与m?
分别表示f?
在
a?
h,a?
上的上、下确界,又设?
hn?
是一趋于0的递减数列,证明:
1)limnm?
与limnm?
都存在;
2)limn?
0m?
hlimnm?
limn?
;
27.设an?
a,用定义证明:
limn?
a
28.设x1?
0,xn?
31?
xn
,(n?
),证明limxn存在并求出来。
n3?
29.用“?
语言”证明lim30.设f(x)?
(x?
2)(x?
1)
1x?
3
2
,数列?
由如下递推公式定义:
x0?
1,xn?
f(xn),(n?
0,x?
1,2,?
),求证:
limxn?
2。
31.设fn(x)?
cosx?
cos2x?
cosnx,求证:
(a)对任意自然数n,方程fn(x)?
1在[0,?
/3)内有且仅有一个正根;
(b)设xn?
[0,1/3)是fn(x)?
1的根,则limxn/3。
32.设函数f(t)在(a,b)连续,若有数列xn?
a,yn?
a(xn,yn?
(a,b))使
limf(xn)?
a(n)及limf(yn)?
b(n),则对a,b之间的任意数?
,
可找到数列xn?
a,使得limf(zn)
33.设函数f在[a,b]上连续,且
f?
0,记fvn?
f(a?
v?
n),?
exp{
b?
,试证明:
n
1b
lnf(x)dx}(n)并利用上述等式证明下?
ab?
式
2?
ln(1?
2rcosx?
r2)dx?
2lnr(r?
f(b)?
f(a)
k
34.设f‘(0)?
k,试证明lim
a?
b?
35.设f(x)连续,?
(x)0f(xt)dt,且lim
论?
'
(x)在x?
0处的连续性。
f(x)
,求?
(x),并讨?
a(常数)
x
36.给出riemann积分?
af(x)dx的定义,并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim?
()s。
nni?
0n
x322
,x?
y?
37.定义函数f?
y2.证明f?
在?
0,0?
处连续但不可微。
0,x?
b
38.设f是?
0,上有界连续函数,并设r1,r2,?
是任意给定的无穷正实数列,试证存在无穷正实数列x1,x2,?
使得:
rnf?
39.设函数f?
在x?
0连续,且limx?
2xf?
xa,求证:
存在且等于a.
1n
40.无穷数列?
an,bn?
满足limnan?
a,limnbn?
b,证明:
lim?
aibn?
1-i?
ab.
nni?
41.设f是?
0,上具有二阶连续导数的正函数,且f'
x0,f'
有界,则limtf'
t0
42.用?
分析定义证明limt1
31
x2?
92
43.证明下列各题
设an0,1?
,n?
试证明级数?
2nann?
n收敛;
设?
为单调递减的正项数列,级数?
n2014an收敛,试证明limn2014an?
0;
设f?
0附近有定义,试证明权限limx?
0f?
存在的充要条件是:
对任何趋于0的数列?
xn,yn?
都有limn?
xnf?
yn?
44.设?
为单调递减数列的正项数列,级数?
anln?
收敛,试证明limnn?
1。
45.设an?
0,n=1,2,an?
0,(n),证limn
46.设f为上实值函数,且f
(1)=1,f?
(x)=〔1,+?
〕
limf(x)存在且小于1+。
+?
4
,证明x?
1)2
x2+f(x)
47.已知数列{an}收敛于a,且
asn?
,用定义证明{sn}也收敛于a
48.若f?
0,?
上可微,lim
0,求证?
内存在一个单
xx
调数列{?
n},使得lim?
且limf?
(?
n)?
xe?
sinx?
x?
49.设f?
2,确定常数a,b,c,使得f'
处处存在。
ax?
bx?
c,x?
第二篇:
极限的证明
极限的证明
利用极限存在准则证明:
(1)当x趋近于正无穷时,(inx/x^2)的极限为0;
(2)证明数列{xn},其中a>
0,xo>
0,xn=/2,n=1,2,…收敛,并求其极限。
1)用夹逼准则:
x大于1时,lnx>
0,x^2>
0,故lnx/x^2>
且lnx1),lnx/x^2<
(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0
故(inx/x^2)的极限为0
2)用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>
√a时,xn-x(n-1)=/2<
0,单调递减
且xn=/2>
√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0<
√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
(一)时函数的极限:
以时和为例引入.
介绍符号:
的意义,的直观意义.
定义(和.)
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限:
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义:
单侧极限的定义及记法.
几何意义:
介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:
例10证明:
极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§
2函数极限的性质(3学时)
目的:
使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求:
掌握函数极限的基本性质:
唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点:
函数极限的性质及其计算。
教学难点:
函数极限性质证明及其应用。
教学方法:
讲练结合。
一、组织教学:
我们引进了六种极限:
.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课:
(一)函数极限的性质:
以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使,都有证设=(现证对有)
註:
若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:
(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限:
已证明过以下几个极限:
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质,特别是运算性质求极限的原理是:
通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1(利用极限和)
例2例3註:
关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第三篇:
数列极限的证明
数列极限的证明
x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在,并求该极限
求极限我会
|xn+1-a|<
|xn-a|/a
以此类推,改变数列下标可得|xn-a|<
|xn-1-a|/a;
|xn-1-a|<
|xn-2-a|/a;
……
|x2-a|<
|x1-a|/a;
向上迭代,可以得到|xn+1-a|<
|xn-a|/(a^n)
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