高考数学理一轮复习讲练测专题81 空间几何体的结构及其三视图和直观图讲答案解析Word下载.docx
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5.有下列四个命题:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【考点深度剖析】
三视图是高考重点考查的内容,考查内容有三视图的识别;
三视图与直观图的联系与转化;
求与三视图对应的几何体的表面积与体积.命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算,或将三视图作为大题的背景,以几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力.
【经典例题精析】
考点1:
空间几何体的结构特征
【1-1】如图几何体中是棱柱的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】由图可知,①、③、⑤是棱柱.
【1-2】下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】D
【课本回眸】
一、多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形,而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分
二、旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式:
一种是由简单几何体拼接而成;
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体.
【方法规律技巧】
熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,可变换模型中线面的位置关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体,也是重要的几何模型,有些问题可用上述几何体举特例解决.
【新题变式探究】
【变式1】一个棱柱是正四棱柱的条件是( ).
A.底面是正方形,有两个侧面是矩形
B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
C.底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱
【解析】 A,B两选项中侧棱与底面不一定垂直,D选项中底面四边形不一定为正方形,故选C.
【变式2】用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体
【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.
考点2空间几何体的直观图
【2-1】利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是________(写出所有正确的序号).
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④圆的直观图是椭圆;
⑤菱形的直观图是菱形.
【答案】①②④
【2-2】在如图所示的直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标系中,四边形ABCO为________,面积为________cm2.
【答案】矩形 8
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是:
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°
或135°
,已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.
按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:
S直观图=
S原图形,S原图形=
S直观图.
【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°
,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
B.
C.
D.
【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°
,腰和上底长度均为1,得下底长为
,所以原图上、下底分别为1,
,高为2的直角梯形.
所以面积S=
(
+1)×
2=
.故选A.
【变式2】如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是( )
A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形
综合点评:
解决有关“斜二测画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中关键线段长度的关系.
考点3 空间几何体的三视图
【3-1】【广东省广州六中等六校2016届高三第一次联考】某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为()
A.
B.4
C.
D.
【3-2】【江西卷】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )
【答案】
(1)D
(2)D
【解析】
(1)球、正方体的三视图形状都相同,大小均相等,首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥OABC,当OA、OB、OC两两垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项B.不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故答案选D.
(2)如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.
【3-3】一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可
能的几何体前的编号).
①三棱锥;
②四棱锥;
③三棱柱;
④四棱柱;
⑤圆锥;
⑥圆柱.
【答案】①②③⑤
三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应,识图要注意甄别.揭示空间几何体的结构特征,包括几何体的形状,平行垂直等结构特征,这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐,高平直,宽相等”.
简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形.
在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线.
【变式1】一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为( )
【变式2】如图,多面体ABCD-EFG的底面ABCD为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是( ).
【解析】注意BE,BG在平面CDGF上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除A,C选项,观察B,D选项,侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影,则BG,BF的投影为虚线,故选D.
【变式3】【武汉市部分学校2016届高三调研】)一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示,则其俯视图不可能为()
方形;
②正方形;
③圆;
④椭圆.
中的
A.①②B.②③
C.③④D.①④
三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.即“长对正,宽相等,高平齐”.
【易错试题常警惕】
易错典例:
一个几何体的主视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号).
②四棱锥;
③三棱柱;
④四棱柱;
⑤圆锥;
⑥圆柱.
【错解】①②⑤
【错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响,漏选③.
【正解】①三棱锥的主视图是三角形;
②当四棱锥的底面是四边形放置时,其主视图是三角形;
③把三棱柱某一侧面当作底面放置,其底面正对着我们的视线时,它的主视图是三角形;
④对于四棱柱,不论怎样放置,其主视图都不可能是三角形;
⑤当圆锥的底面水平放置时,其主视图是三角形;
⑥圆柱不论怎样放置,其主视图也不可能是三角形.
故正确答案为①②③⑤.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;
或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;
第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;
第三是正确确定参数的取值范围.
在解答三视图、直观图问题中,主要是通过图形的恰当转化,明确几何元素的数量关系,进行准确的计算.如:
【典例】【2016河南新乡名校联盟押题】已知三棱锥
外接球的表面积为
,
,三棱锥
的三视图如图所示,则其侧视图的面积的最大值为()
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