材料力学教案第5章弯曲应力.docx
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材料力学教案第5章弯曲应力
第五章弯曲应力
§5.1纯弯曲
§5.2纯弯曲时的正应力
§5-3横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力
§5.4弯曲切应力
§5.6提高弯曲强度的措施
§5.1纯弯曲
1.弯曲
横力弯曲
纯弯曲
Fs,M
Fs0,M
const.
0,
2.观察变形
以矩形截面梁为例
(1)变形前的直线aa、bb变形后
成为曲线aa、bb,变形前的mm,nn变形后仍为直线mm、mn,然
而却相对转过了一个角度,且仍与aa、bb曲线相垂直
1
a
a
丿b
b
m
AX
n
1
(2)
mn
平面假设
根据实验结果,可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面,且仍垂直于变形后的梁轴线,这就是弯曲变形的平面假设。
(3)设想
设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。
在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压,只发生伸长和缩短变形。
显然,凸边一侧的纤维发生伸长,凹边一侧的纤维缩短。
由平面假设纤维由伸长变为缩短,连续变化,中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。
(4)中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴,由于整体变形的对称性,中性轴由与纵向对称面垂直。
P139
note:
可以证明,中性轴为形心主轴。
§5.2纯弯曲时的正应力
1.正应力分布规律:
r①变形几何关系
Y②物理关系
•③静力关系
(1)变形几何关系
取dx微段来研究,竖直对称轴为为z轴,距中性层为y的任一纤维bb
yddy
d
(2)物理关系
因为纵向纤维之间无正应和,每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩,
当应力小于比例极限时,由胡克定律
此式表明:
任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。
在横截面上,任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
亦即沿截面高度,正应力按直线规律变化。
(3)静力关系
横截面上的微内力。
dA组成垂直于横截面的空间平行力学。
这一力
系可能简化为三个内力分量:
dA
A
zdA
A
ydA
A
Miy
Miz
横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。
在纯弯曲情况下,截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。
由于内外力必须满足平衡方程,故:
①
Fx0
AdA
式(b)代入式(c)
dA
const
…ydASz(
A
结论:
Z轴(中性轴)通过形心。
②My0
Miy
zdA
A
(d)
式(b)代入式(d)
zdA
A
EyzdA0
A
yzdA
A
Iyz0
结论:
y轴为对称轴,
③M
上式自然满足
0
Me
MizM
AydA(e)
式(b)代入式(e)
My
A
y2dA
A
dA—
y2dA
A
(f)
Iz
•••式(f)可写成
1M
EIz
(g)
式中1为梁轴线变形后的曲率,Elz称为梁的抗弯刚度。
2.纯弯曲时梁的正应力计算公式由式(g)和式(b)中消去丄得
讨论:
(1)导出公式时用了矩形截面,但未涉及任何矩形的几何特性,因此,公式具有普遍性。
(2)只要梁有一纵向对称面,且载荷作用于对称面内,公式都适用
(3)横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定,不需用y坐标的正负来判定。
§5-3横力弯曲(剪切弯曲)时的正应力
1.纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲
My
lz
讨论:
公式的适用条件
(1)平面弯曲
(2)纯弯曲或l/h>5的横力弯曲(c,t)
(3)应力小于比例极限。
2.最大正应力
Mmaxymax
lz
max
W——抗弯截面系数(m3)讨论:
(1)等直梁而言。
max发生在最大弯矩断面,距中性轴最远处ymax
(2)对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面,而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数Wz两个因素。
3.强度条件
max
max
WZ
(1)对抗拉抗压强度相同的材料,只要即可max
(2)对抗拉抗压强度不等的材料(如铸铁)则应同时满足:
tmaxt
cmax
4.强度计算
(1)强度校核
(3)确定许用载荷:
MmaxWz
Examplel空气泵操作杆,右端受力Fi=8.5kN,1-1、2-2截面相同,
均为h/b=3的矩形,若[(T]=50MPa,试选用1-1、2-2截面尺寸。
M1=8.5X(0.72-0.08)=5.44kNm•
M2=16.1X(0.38-0.08)=4.38kNm•
故:
③设计截面
h=125mm
§5.4弯曲切应力横力弯曲M
Fs
切应力的分布规律与梁的横截面形状有关,因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。
1.矩形截面梁
(1)切应力的分布规律
切应力的方向与剪力Fs平行假设
切应力沿截面宽度均匀分布
当h>b时,按上述假设得到的解答与精确解
相比有足够的准确度。
(2)切应力沿截面高度的变化规律
1从梁中取出dx段,而微段上无载荷作用
②截面上的C和T的分布如图
③研究微块的平衡
式。
F2.dA..MdMy-dA
I;
A*
A*
MdM
—a*yidA
MdM*
I
式中:
SZA*y-dA为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。
A
My.M—MS;
F1dA-dA;
1A*A*A
;;
考虑到微块顶面上相切的内力系的合
dFs
bdx
(c)
Fx
(a)
*%dA
Iz
(b)
F2F1dFs0(d)
(a)、(b)、(c)
dMjMj
「Sz工
dMS;
代入式(d)
(e)
bdx0
P
7/
dxIZb
(d)
由切应力互等定理,
dM
dx
Fs
*
FSSZ
Izb
横截面上pq线处切应力为
*
FsS;
I;b
这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公
④讨论:
a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在
切应力
b.矩形截面如图
dAbdy-iSz
h/2
A*y1dAyb%dy1
(f)
(g)
2
yor
SZA*[y
2
Jhh、1』、b」2、
2(2y)]b(2y)2(2y)2(4y)
Fs
212
h22
4y
c.当y—时,
2
T=O
当y=0时,
max
Fsh2
81;
d.考虑到I;bh
12
max
3Fs
2bh
1.5空bh
2.工字形截面梁
(1)计算表明:
截面上剪力
Fs的95〜97%
说明切应力T沿截面高度按抛物线规律变化
由腹板承担,故只考虑腹板上的切应力分布规律,而腹板是一个狭长矩形,矩形截面切应力两个假设均适用(T方向与Fs一致,均布),米用矩形截面方法可得:
*
FsS;
I;bo
h
设宽度
max
9
Tiin
式中:
S;
h2ho2
boh:
以y=0,y
I;bo
弘代入上式得
2
h0
bo
2
h2
4
max
min
Fs
bh2
I;bo8
Fsbh2
I;b08
bh:
boI
8
tbo«b
…Tmax~Tmin
于是近似认为
Fs
max
boh
(2)翼缘中切应力分布比较复杂,且数量很小,无实际意义,不予讨论。
(3)工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远,每一点的正应力都很大,所以工字梁的最大特点是,用翼缘承担大部分弯矩,腹板承担大部分剪力。
(2)圆环形截面
2FS
max
A
4.弯曲切应力的强度校核
(1)强度条件
*
fssmaxZmax
maxIzb
SZmax——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩
(2)细长梁而言,强度控制因素,通常是弯曲正应力,一般只按正应力强度条件进行强度计算,不需要对弯曲切应力进行强度校核。
(3)只在下述情况下,才进行弯曲切应力强度校核:
1梁的跨度较短。
2在梁的支座附近作用较大的载荷,以致梁的弯矩较小,而剪力颇大。
3铆接或焊接的工字梁,如腹板较薄而截面高度颇大,以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值,这时对腹板进行切应力校核。
4经焊接,铆接或胶而成的梁,对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。
§5.6提高弯曲强度的措施
弯曲正应力为控制梁的主要因素。
梁的强度条件:
Mmax
max
合理安排梁的受力情况,降低Mmax采用合理截面形状,提高WZ
1.合理安排梁的受力情况,降低
(1)合理布置梁的支座
(2)合理布置载荷
1载荷置于合理位置
2将集中力分为较小的集中力
3将集中力分为分布力
Mmax
Mi
Ml
rrrrrj
-■-
|伍]
書冲2期
A/加屯1;
55Q
AT
rTrmtrini11in[IT[^nnnirnnrnTTrn■—£
占術I豎価牛
#2
l“4
i1-
Fl
mu
FIK.
F/2
2.梁的合理截面,提高WZ
由强度条件
MmaxWz
可见Wz越大,梁承受的弯矩就越大。
(1)矩形截面梁
竖放:
Wz也,由A=bh,用
6
衡量截面形状的合理性和经济性。
K1Wlh0.167h
A6
hb2
平放:
W,由A=bh
6
K2Wlb0.167b
A6
显然:
因为h>b,故Q>K2,所以,
K
矩形截面梁竖放比平放要好。
(2)截面合理性,经济性用W比
A
值来评价,引入WKh,K值越
A
h
3.等强度梁的设计
(1)等截面梁是按最大弯矩设计
max
i
1
1
•
i
(2)等强度梁是按变截面设计
wxM2
(2)等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力。
max都相
等,且等于许用应力[(T]。
M(x)
maxW(x)
4.举例
Example图示受集中力作用的简支梁,若设计成等强度梁,截面为
矩形。
设h=const,而b=b(x)
即:
2当x=0时,b=0。
这显然不能满足剪切条件。
必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。
3根据
max
3Fsmax3F/2
2A2bminhb.王
min.
4h
(3)叠板弹簧梁的构成
将厚度为h的钢,切割成bmin的钢板条,当然钢板条长度不同叠起
来,构成叠板梁如图示。
(4)鱼腹梁的设计
设:
bconst
hhx
Wx
M
xF/2x
即:
bh2x
Fx
6
2
又:
hx
3Fx
b
3Fsmax3F/2
max
2A2bhmin
故:
hmin
3F
4b
hmax
3Fl
2b
鱼腹梁形成。
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