重庆市第一中学届高三下学期第一次月考数学理试题word版含答案Word下载.docx
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第一次循环:
,满足
;
第二次循环:
第三次循环:
第四次循环:
第五次循环:
,步满足
,输出
,故选D.
5.已知一个四棱柱的侧棱垂直于底面,条件
“该棱柱是正四棱柱”,条件
“该棱柱底面是菱形”,那么
是
的()条件
A.既不充分也不必要B.充分不必要
C.必要不充分D.充要
【解析】由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若条件
“该棱柱是正四棱柱”成立,则四棱柱的底面为一个正方形,所以命题
“该棱柱底面是菱形”是成立的;
由一个四棱柱的侧棱垂直于底面,若命题
“该棱柱底面是菱形”是成立,则该四棱柱不一定是正四棱柱,所以条件
“该棱柱是正四棱柱”不一定成立,
所以命题
是命题
的充分不必要条件,故选B.
6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品
过程中记录的产量
(吨)与相应的生产能耗
(吨)的几组对应数据:
根据上表的数据,求出
关于
的线性回归方程为
,那么
的值为()
【解析】由题意,
因为
的回归直线方程是
,解得
7.平面上三个单位向量
两两夹角都是
与
夹角是()
【解析】由题意得,向量
为单位向量,且两两夹角为
则
且
的夹角为
,且
8.
年东京夏季奥运会将设置
米男女混合泳接力这一新的比赛项目,比赛的规则是:
每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员比赛,按照仰泳
蛙泳
蝶泳
自由泳的接力顺序,每种泳姿
米且由一名运动员完成,每个运动员都要出场.现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单,其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳,男运动员乙只能承担蝶泳或自由泳,剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上,那么中国队共有()种兵布阵的方式.
【解析】由题意,若甲承担仰泳,则乙运动员有
种安排方法,其他两名运动员有
种安排方法,共计
种方法;
若甲运动员承担自由泳,则乙运动员只能安排蝶泳,其他两名运动员有
种方法,
所以中国队共有
种不同的安排方法,故选A.
9.已知直线
,圆
,那么圆
上到
的距离为
的点一共有()个.
【解析】由圆
,可得圆心
,半径
又圆心
到直线
的距离
如图所示,由图象可知,点
的距离都为
所以圆
的点一共
个,故选C.
10.已知
则
的大小关系是()
【解析】由题意,令
当
时,
所以函数
在区间
上点掉递减,
,即
又由三角函数的性质可知
,所以
综上可得
11.双曲线
,曲线
经过双曲线的焦点,则双曲线的离心率为()
C.
【解析】由曲线
,可得令
,得
即
所以双曲线的离心率为
点睛:
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:
①求出
,代入公式
②只需要根据一个条件得到关于
的齐次式,转化为
的齐次式,然后转化为关于
的方程(不等式),解方程(不等式),即可得
(
的取值范围).
12.不等式
对于任意正实数
恒成立,则实数
的最大值为()
【解析】由题意,设
在
单调递增,且最小值为
要使得
对
恒成立,
当且仅当
时成立,所示实数
的最大值为
本题主要考查导数在函数中的应用,不等式的恒成立问题,考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,解答中涉及到基本不等式的应用,利用基本不等式确定函数的最值及等号成的条件是解答的关键,实数有一定的难度,属于中档试题.
二、填空题.(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知随机变量
,且随机变量
的方差
_________
【答案】12
【解析】由随机变量
,则随机变量的方差为
又因为
,所以随机变量
的方差为
.
14.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的表面积为_________
【答案】
【解析】根据给定的三视图可知,原几何体表示一个如图所示的三棱锥,
其中底面
是一个底边为
,高为
的等腰直角三角形,则
且
底面
所以三棱锥的各个面的面积为:
所以该三棱锥的表面积为
15.在
的可行域内任取一点
,则满足
的概率是__________
【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,
由
作出直线
所以表示区域为
即不等式
所表示的区域为
,其面积为
所以不等式
对应的概率为
对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量,最后计算概率
,本题的解答中正确画出二元一次不等式所对应平面区域是解答的关键.
16.点
是锐角三角形
的外心,
的值为________
【答案】20
【解析】如图所示,过点
分别作
于
分别是
的中点,
可得在
中,
,同理可得
点睛:
本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题,其中解答中将
放在它的外接圆
中,过点
,得到
的中点,利用数量积的运算,分别求得
的值是解答的关键,着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质,有一定的综合性,属于中档试题.
三、解答题.(共70分)
17.已知等比数列
的首项为
,公比
的等差中项,
是数列
的前
项和.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若数列
满足
,求数列
项和
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)设
,根据条件列出方程,求得
,即可求得数列的通项公式;
(2)由
(1),求得
,即可利用分组求和求得数列的前
试题解析:
,根据条件有
,
又
(2)由
(1),
由分组求和,
18.如图,在直棱柱
∥
(1)证明:
直线
平面
(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦.
(1)见解析;
(2)
根据条件得
,又
利用线面垂直的判定定理,即可证得结论;
(2)由题意,以
为坐标原点,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.设
,求得平面
的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
根据条件
可得
而
,所以,直线
两两垂直.如图所示,以
所以,
可视为平面
的一个法向量,现设
是平面
的一个法向量,则
,令
,设平面
所成的锐二面角为
19.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示:
全市
名高中女生的身高(单位:
)服从正态分布
.现从某高中女生中随机抽取
名测量身高,测量发现被测学生身高全部在
和
之间,现将测量结果按如下方式分成
组:
第
组
,第
,…,第
,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这
名女生身高不低于
的人数;
(2)在这
的人中任意抽取
人,将该
人中身高排名(从高到低)在全市前
名的人数记为
,求
的数学期望.
参考数据:
人;
(2)见解析.
(1)由直方图知,求得后
组频率,进而可求得这
(2)由题意,求得这
人中
以上的有
人,得出随机变量
可取
,求得随机变量取每个值得概率,列出分布列,利用公式求解数学期望.
(1)由直方图知,后
组频率为
,人数为
,即这
的人数为
(2)∵
∴
∴.
,则全市高中女生的身高在
人,这
人.
随机变量
,于是
∴
20.已知标准方程下的椭圆
的焦点在
轴上,且经过点
,它的一个焦点恰好与抛物线
的焦点重合.椭圆
的上顶点为
,过点
的直线交椭圆于
两点,连接
、
,记直线
的斜率分别为
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)求
的值.
(1)
;
(2)见解析;
(3)
(1)由抛物线的焦点为
,得到椭圆的两个焦点坐标为
,再根据椭圆的定义得到
,即可求得椭圆
(2)由题意,设直线
的方程为
,并代入椭圆方程,求得
,化简运算,即可求得
(1)设椭圆
的标准方程为
,抛物线的焦点为
,所以该椭圆的两个焦点坐标为
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