版高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理试题理北师大版Word格式.docx
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项和
项的二项式系数最大,最大值为
和
(3)各二项式系数和:
C
+C
+…+C
=2n,
+…=C
+…=2n-1.
【知识拓展】
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;
字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C
,C
,一直到C
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)C
an-rbr是二项展开式的第r项.( ×
)
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( ×
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( ×
(5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( ×
1.(教材改编)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是( )
A.C
B.C
C.C
D.(-1)m-1C
答案 D
解析 (x-y)n展开式中第m项的系数为
(-1)m-1.
2.(2016·
四川)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为( )
A.-15x4B.15x4
C.-20ix4D.20ix4
答案 A
解析 由题意可知,含x4的项为C
x4i2=-15x4.故选A.
3.(2016·
南昌模拟)已知n=
,那么
n展开式中含x2项的系数为( )
A.130B.135C.121D.139
答案 B
解析 根据题意,n=
,则
6中,由二项式定理得通项公式为Tr+1=C
(-3)rx6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以系数为C
×
9=135.
4.在(
-
)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是________.
答案 7
解析 由题意知
+1=5,解得n=8,
(
)8的展开式的通项Tr+1=C
(
)8-r(-
)r
=
,令8-
=0,得r=6,
则展开式中的常数项为(-1)626-8C
=7.
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1
(1)(2016·
全国乙卷)(2x+
)5的展开式中,x3的系数是______________.(用数字填写答案)
(2)(2015·
课标全国Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10B.20
C.30D.60
答案
(1)10
(2)C
令5-
=3,解得r=4,得∴x3的系数是10.
(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解.
(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
含y2的项为T3=C
(x2+x)3·
y2.
其中(x2+x)3中含x5的项为C
x4·
x=C
x5.
所以x5y2的系数为C
=30.故选C.
方法二 利用组合知识求解.
(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积,其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可,所以x5y2的系数为C
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2
(1)(2015·
课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=____________.
(2)(2016·
山东)若
5的展开式中x5的系数为-80,则实数a=________.
答案
(1)3
(2)-2
解析
(1)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.
(2)∵
,
∴10-
r=5,解得r=2,∴a3C
=-80,解得a=-2.
思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;
求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.
(1)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
(2)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=________.(用数字填写答案)
答案
(1)-20
(2)
解析
(1)x2y7=x·
(xy7),其系数为C
x2y7=y·
(x2y6),其系数为-C
∴x2y7的系数为C
-C
=8-28=-20.
(2)设通项为Tr+1=C
x10-rar,令10-r=7,
∴r=3,∴x7的系数为C
a3=15,
∴a3=
,∴a=
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3 在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*)
各项系数的和为a0+a1+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C
=210.
(2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.
(3)奇数项的二项式系数和为C
=29,
偶数项的二项式系数和为C
=29.
(4)令x=y=1,得到a0+a1+a2+…+a10=1,①
令x=1,y=-1(或x=-1,y=1),
得a0-a1+a2-a3+…+a10=510,②
①+②得2(a0+a2+…+a10)=1+510,
∴奇数项系数和为
①-②得2(a1+a3+…+a9)=1-510,
∴偶数项系数和为
(5)x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9=
x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10=
思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;
对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f
(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=
,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=
(1)(2017·
北京海淀区月考)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m等于( )
A.5B.6C.7D.8
解析 由题意得a=C
,b=C
∴13C
=7C
,∴
∴
=13,解得m=6,经检验符合题意,故选B.
(2)若(1-2x)2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016,则
+
+…+
的结果是多少?
解 当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1.
当x=
时,左边=0,右边=a0+
∴0=1+
即
=-1.
题型三 二项式定理的应用
例4
(1)设a∈Z且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a等于( )
A.0B.1C.11D.12
(2)1.028的近似值是________.(精确到小数点后三位)
答案
(1)D
(2)1.172
解析
(1)512012+a=(52-1)2012+a=C
·
522012-C
522011+…+C
52·
(-1)2011+C
(-1)2012+a,
∵C
(-1)2011能被13整除且512012+a能被13整除,
∴C
(-1)2012+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12.
(2)1.028=(1+0.02)8≈C
0.02+C
0.022+C
0.023≈1.172.
思维升华
(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
(1)1-90C
+902C
-903C
+…+(-1)r90rC
+…+9010C
除以88的余数是( )
A.-1B.1C.-87D.87
解析 1-90C
=(1-90)10=8910=(88+1)10
=8810+C
889+…+C
88+1,
∵前10项均能被88整除,∴余数是1.
(2)已知2n+2·
3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值.
解 原式=4·
6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
=4(C
5n+C
5n-1+…+C
52+C
5+C
)+5n-a
52)+25n+4-a,
显然正整数a的最小值为4.
15.二项展开式的系数与二项式系数
(2)(2016·
河北邯郸一中调研)已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是-35,则a1+a2+…+a7=________.
错解展示
解析
(1)(
)n展开式中,令x=1可得4n=1024,∴n=5,
∴(
)n展开式的通项
令
=1,得r=1.
故展开式中含x项的系数为C
=5.
(2)a1+a2+…+a7=C
=27-1.
答案
(1)5
(2)27-1
现场纠错
解析
(1)在(
)n的展开式中,令x=1,
可得(
)n展开式的各项系数绝对值之和为4n=22n=1024=210,∴n=5.
故(
)5
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- 高考 数学 一轮 复习 第十 计数 原理 103 二项式 定理 试题 北师大
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