届高三数学文二轮复习练习专题五 解析几何 课后综合提升练 152Word文档下载推荐.docx
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⇒m=2,焦点在y轴时,a2=
⇒m=8,所以m等于2或8.
3.设F为双曲线C:
-
=1(a>
0,b>
0)的右焦点,B为虚轴的上端点,若直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,则C的离心率为( )
B.
C.
-1D.
选B.因为直线FB的斜率为-
双曲线C的一条渐近线的斜率为
又因为直线FB与双曲线C的一条渐近线垂直,所以
·
=-1,所以c2-a2=b2=ac,两边都除以a2,得e2-e-1=0,因为e>
1,所以e=
4.已知双曲线
0)的一个焦点为F(2
0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )
=1B.
=1
C.
=1D.
选D.由已知可得c=2
双曲线渐近线方程为y=±
x,即ay±
bx=0,
a2+b2=c2=8,(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径r=
若双曲线渐近线与圆方程相切,则
d=
所以b=
所以b2=6,c2=8,a2=2,
所以双曲线方程为
=1.
5.已知抛物线C:
y2=2px(p>
0)的焦点为F,准线为l,点P是抛物线C上一点,过点P作l的垂线,垂足为A,准线l与x轴的交点设为B,若∠BAF=30°
且△APF的面积为12
则以PF为直径的圆的标准方程为( )
A.(x-2
)2+(y+3)2=12或(x-2
)2+(y-3)2=12
B.(x-3)2+(y+2
)2=12或(x-3)2+(y-2
)2=12
C.(x-2
)2+(y+3)2=8或(x-2
)2+(y-3)2=8
D.(x-3)2+(y+2
)2=8或(x-3)2+(y-2
)2=8
选A.作出辅助图形如图所示,
因为∠BAF=30°
故∠AFB=60°
=∠PAF,由抛物线的定义可知|PA|=|PF|,故
△APF为等边三角形,因为△APF的面积为12
故|PF|=|PA|=|AF|=4
而|BF|=
|AF|=2
=p,故点P的横坐标为|PA|-
=3
代入y2=4
x中,解得y=±
6,故所求圆的标准方程为(x-2
)2+(y±
3)2=12.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知点F是椭圆C:
+
b>
0)的左焦点,若椭圆C上存在两点P,Q满足
=2
则椭圆C的离心率的取值范围是____________.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),F(-c,0),直线PF:
y=k(x+c).
因为P,Q满足
所以y1=-2y2.①
由
得
(b2+a2k2)y2-2kcb2y-b4k2=0,
y1+y2=
②
y1y2=
③
由①②得y1=
y2=
代入③得b2+a2k2=8c2⇒8c2≥b2=a2-c2⇒9c2≥a2⇒
≥
所以椭圆C的离心率的取值范围是
答案:
7.设F1,F2为椭圆C:
0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4
的等边三角形,则椭圆C的方程为____________.
由题意,知|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1| ①,
又由椭圆的定义知,|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a ②,
联立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=
a,|AF1|=|BF1|=
a,
所以
|AB||AF2|sin60°
=4
所以a=3,|F1F2|=
|AB|=2
所以c=
所以b2=a2-c2=6,
所以椭圆C的方程为
8.已知抛物线C:
x2=2py(p>
0)的焦点为F,过点F的直线与抛物线C交于M,N两点,且|MN|=8,则线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为____________.
分别过点M,N作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为P,Q,由抛物线的定义知,|MP|=|MF|,|NQ|=|NF|,则|MP|+|NQ|=|MN|=8.
线段MN的中点到抛物线C的准线的距离为梯形MNQP的中位线的长度,即
×
(|MP|+|NQ|)=4.
4
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.如图,已知椭圆
0)的右顶点和上顶点分别为A,B,|AB|=
离心率为
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点A作斜率为k(k>
0)的直线l与椭圆交于另外一点C,求△ABC面积的最大值,并求此时直线l的方程.
(1)由题意得
解得
所以,椭圆方程为
+y2=1.
(2)kAB=-
设与AB平行的椭圆的切线方程为y=-
x+m,
联立方程组得
消去y得x2-2mx+2m2-2=0,①
Δ=4m2-4(2m2-2)=0,
解得m=±
因为k>
0,所以m=-
代入到①中得x=-
代入到y=-
y=-
所以当取C的坐标是
时,△ABC的面积最大.
此时C点到AB的距离为d=
S△ABC=
+1.
此时,直线l的方程是y=
10.已知点M(1,m)在抛物线C:
0)上,点M到抛物线C的焦点F的距离为
(1)求m的值.
(2)若直线y=kx+2与x轴交于点N,与抛物线C交于A,B,且
求k的值.
(1)由已知:
1+
所以p=3.
所以抛物线方程:
y2=6x,
把M(1,m)代入,得:
m=±
(2)由已知k≠0,N
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立
消去x,得:
ky2-6y+12=0,
由Δ=36-48k>
0,得k<
且k≠0,
且y1+y2=
①,y1·
y2=
②,
因为
即y1=2y2 ③
由①②③联立可得:
k=
满足k<
所以,k=
11.已知椭圆C:
0)的左顶点为A(-2,0),且过点
(1)求椭圆C的标准方程及离心率.
(2)若直线l:
x=ty-1交椭圆C于P(x1,y1),Q(x2,y2).
①求证:
y1y2=-
;
②若△APQ的面积为
求t的值.
(1)由题意得:
a=2,
又因为椭圆过点
=1,所以b=1.
因为c2=a2-b2,
所以离心率e=
所以椭圆C的标准方程为
(2)①由题意,联立
整理得:
(t2+4)y-2ty-3=0,
所以y1+y2=
y1y2=-
所以y1y2=-
成立.
②由题意得,直线l:
x=ty-1恒过(-1,0).设直线l与x轴交于点M,则M(-1,0),
所以|AM|=1.
因为|y1-y2|=
所以S△APQ=
|AM|·
|y1-y2|
所以4t4+7t2-11=0,
所以t2=1,或t2=-
(舍),
所以t=±
1.
(20分钟 20分)
1.(10分)双曲线x2-
=1(b>
0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点
(1)若l的倾斜角为
△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程.
(2)设b=
若l的斜率存在,且(
)·
=0,求l的斜率.
(1)方法一:
设A(xA,yA).由题意,F2(c,0),c=
=b2(c2-1)=b4,
因为△F1AB是等边三角形,
所以2c=
|yA|,即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,
故双曲线的渐近线方程为y=±
x.
方法二:
由题可知A(c,b2),因为△F1AB是等边三角形,
所以tan30°
即4(1+b2)=3b4,解得b2=2,
(2)由已知,b=
所以c2=1+b2=4,
所以F1(-2,0),F2(2,0).
由题意可得,直线l的方程为y=k(x-2),显然k≠0.
(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.
因为l与双曲线交于两点,所以k2-3≠0,且Δ=36(1+k2)>
0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=
x1x2=
方法一:
设AB的中点为M(xM,yM).
由(
=0,即
=0,知F1M⊥AB,故
k=-1.
而xM=
yM=k(xM-2)=
k=-1,得k2=
显然符合题意,故l的斜率为±
=(x1+2,y1),
=(x2+2,y2),
=(x2-x1,y2-y1)
=0得
(x1+x2+4)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0
整理得(1+k2)(x1+x2)+4-4k2=0,
即20k2=12所以k2=
显然符合题意,
故l的斜率为±
2.(10分)已知椭圆C:
0)的长轴长为4,焦距为2
(1)求椭圆C的方程.
(2)过动点M(0,m)(m>
0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.
①设直线PM,QM的斜率分别为k,k′,证明
为定值.
②求直线AB的斜率的最小值.
【解题指南】
(1)由长轴长为4,焦距为2
可得a=2,c=
方程易得.
(2)设出点P坐标,易得点Q坐标,表示出直线PM,QM的斜率分别为k与k′,它们之比易得;
借助上述关系可以方便计算直线AB的斜率,此外理清直线截距与斜率k之间的关系是解决问题的又一关键.
(1)由题意a=2,c=
所以b2=2,所以椭圆方程为
(2)①由题意,设P
则Q(p,-2m),
②直线PA的斜率k=
其中0<
m2<
所以k>
将直线y=Kx+m与椭圆方程联立,可得,
x2+4Kmx+2m2-4=0.
设A
B
直线PA:
y=kx+m,直线QB:
y=-3kx+m,分别令K=k,K=-3k可得:
x1p=
x2p=
所以,kAB=
(当且仅当k=
时取等号).
所以,直线AB的斜
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