江苏省南京市盐城市届高三第一次模拟考试数学试题带答案Word下载.docx
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,则边
10.设
是等比数列
的前
项和,
,若
11.如图,在
中,
的值为▲.
12.过点
的直线
与圆
相交于
两点,若点
恰好是线段
的中点,则直线
的方程为▲.
13.设
是定义在
上的奇函数,且
,设
若函数
有且只有一个零点,则实数
的取值范围是▲.
14.设函数
的图象上存在两点
,使得
是以
为直角顶点的直角三角形(其中
为坐标原点),且斜边的中点恰好在
轴上,则实数
二、解答题:
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内
15.(本小题满分14分)
设函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式;
(2)当
时,求
的取值范围.
16.(本小题满分14分)
如图,已知直三棱柱
的侧面
是正方形,点
是侧面
的中心,
是棱
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
.
17.(本小题满分14分)
如图所示,
是两个垃圾中转站,
在
的正东方向
千米处,
的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在
的北面建一个垃圾发电厂
.垃圾发电厂
的选址拟满足以下两个要求(
可看成三个点):
①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;
②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点
到直线
的距离要尽可能大).现估测得
两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为
吨和
吨,问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系
中,设点
是椭圆
上一点,从原点
向圆
作两条切线分别与椭圆
交于点
,直线
的斜率分别记为
(1)若圆
与
轴相切于椭圆
的右焦点,求圆
的方程;
(2)若
①求证:
②求
的最大值.
19.(本小题满分16分)
已知函数
处的切线方程为
(1)求
的值;
(2)若对任意的
,都有
成立,求
的取值范围;
(3)若函数
的两个零点为
,试判断
的正负,并说明理由.
20.(本小题满分16分)
设数列
共有
项,记该数列前
项
中的最大项为
,该数列后
中的最小项为
(1)若数列
的通项公式为
,求数列
的通项公式;
(2)若数列
(3)试构造一个数列
,满足
,其中
是公差不为零的等差数列,
是等比数列,使得对于任意给定的正整数
,数列
都是单调递增的,并说明理由.
数学附加题
(本部分满分40分,考试时间30分钟)
21.[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
A.(选修4—1:
几何证明选讲)
如图,
为⊙
的直径,直线
与⊙
相切于点
、
为垂足,连接
.若
,求
的长.
B.(选修4—2:
矩阵与变换)
设矩阵
的一个特征值为
,若曲线
在矩阵
变换下的方程为
,求曲线
的方程.
C.(选修4—4:
坐标系与参数方程)
在极坐标系中,已知点
的极坐标为
,圆
的极坐标方程为
试判断点
和圆
的位置关系.
D.(选修4—5:
不等式选讲)
已知正实数
求证:
[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)
22.(本小题满分10分)
直三棱柱
(1)若
,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)若二面角
的大小为
,求实数
的值.
23.(本小题满分10分)
设集合
,记
的含有三个元素的子集个数为
,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为
(2)猜想
的表达式,并证明之.
数学参考答案
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解:
(1)由图象知,
,…………2分
又
,所以
,得
.…………4分
所以
,将点
代入,得
即
,又
.…………6分
.…………8分
时,
,…………10分
所以
.…………14分
16.证明:
(1)在
中,因为
是
的中点,
...............4分
...............6分
(2)因为
是直三棱柱,所以
底面
,即
,而
面
,且
...............8分
而
是正方形,所以
..............12分
,所以面
...............14分
17.解法一:
由条件①,得
................2分
设
,..............6分
所以点
的距离
,...............10分
所以当
取得最大值15千米.
即选址应满足
千米,
千米................14分
解法二:
以
所在直线为
轴,线段
的中垂线为
轴,建立平面直角坐标系................2分
则
................4分
化简得,
即点
的轨迹是以点(
)为圆心、
为半径的圆位于
轴上方的半圆.
则当
时,点
的距离最大,最大值为
千米.
的选址应满足在上述坐标系中其坐标为
即可................14分
18.解:
(1)因为椭圆
右焦点的坐标为
,所以圆心
的坐标为
...............2分
从而圆
的方程为
(2)①因为圆
与直线
相切,所以
,…………6分
同理,有
是方程
的两根,…………8分
从而
.…………10分
②设点
,联立
,解得
,………12分
同理,
……………14分
,当且仅当
时取等号.所以
的最大值为
.……………16分
19.解:
(1)由题意得
,因函数在
.……………4分
(2)由
(1)知
对任意
都成立,
都成立,从而
……………6分
又不等式整理可得
,令
,……………8分
当
,函数
上单调递增,
同理,函数
上单调递减,所以
综上所述,实数
的取值范围是
.……………10分
(3)结论是
.……………11分
证明:
由题意知函数
易得函数
单调递增,在
上单调递减,所以只需证明
.……12分
因为
是函数
的两个零点,所以
,相减得
不妨令
即证
,即证
,……………14分
上单调递增,所以
综上所述,函数
总满足
成立.……………16分
20.解:
(1)因为
单调递增,所以
(2)根据题意可知,
,因为
可得
,又因为
单调递增,…………7分
是公差为2的等差数列,
(3)构造
.……………12分
下证数列
满足题意.
,所以数列
单调递增,
所以数列
单调递增,满足题意.……………16分
(说明:
等差数列
的首项
任意,公差
为正数,同时等比数列
为负,公比
,这样构造的数列
都满足题意.)
附加题答案
21.A、解:
相切于
又因为
为
的直径,所以
.……4分
,…………6分
B、由题意,矩阵
的特征多项式
因矩阵
有一个特征值为2,
代入方程
,即曲线
.…10分
C、解:
点
的直角坐标为
圆
的直角坐标方程为
则点
到圆心
在圆
外.…………10分
D、解:
因
,…6分
22.解:
分别以
轴建立空间直角坐标系.
………2分
(1)当
的中点,所以
,设平面
的法向量为
,所以取
所以直线
所成角的正弦值为
(2)
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