幂函数高一新教材A版必修第一册Word格式.docx
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时,增函数
x∈(-∞,0]
时,减函数
x∈(0,+∞)
x∈(-∞,0)
1.下列函数中不是幂函数的是( )
A.y= B.y=x3
C.y=3xD.y=x-1
C [只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式,故选C.]
2.已知f(x)=(m+1)xm2+2是幂函数,则m=( )
A.2 B.1C.3 D.0
D [由题意可知m+1=1,即m=0,∴f(x)=x2.]
3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点,则f(4)=________.
[由f
(2)=可知2α=,即α=-,
∴f(4)=4=.]
幂函数的概念
【例1】 已知y=(m2+2m-2)xm2-1+2n-3是幂函数,求m,n的值.
[解] 由题意得
解得所以m=-3,n=.
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:
(1)指数为常数;
(2)底数为自变量;
(3)系数为1.
1.
(1)在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为( )
A.0 B.1
C.2D.3
(2)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f
(2),则f的值等于________.
(1)B
(2) [
(1)∵y==x-2,∴是幂函数;
y=2x2由于出现系数2,因此不是幂函数;
y=x2+x是两项和的形式,不是幂函数;
y=1=x0(x≠0),可以看出,常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1),所以常函数y=1不是幂函数.
(2)设f(x)=xα,∵f(4)=3f
(2),∴4α=3×
2α,解得α=log23,∴f=log23=.]
幂函数的图象及应用
【例2】 点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>
g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)<
g(x).
[解] 设f(x)=xα,g(x)=xβ.
∵()α=2,(-2)β=-,
∴α=2,β=-1,
∴f(x)=x2,g(x)=x-1.分别作出它们的图象,如图所示.由图象知,
(1)当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)>
(2)当x=1时,f(x)=g(x);
(3)当x∈(0,1)时,f(x)<
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:
在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);
在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x或y=x3)来判断.
2.
(1)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>
c>
b>
a
B.a>
d
C.d>
a>
b
D.a>
d>
c
(2)函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B
(2)B [
(1)令a=2,b=,c=-,d=-1,正好和题目所给的形式相符合.
在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>
d.故选B.
(2)y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1.幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α有什么关系?
提示:
当α>
0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;
当α<
0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递减.
2.2.3-0.2和2.2-0.2可以看作哪一个函数的两个函数值?
二者的大小关系如何?
2.3-0.2和2.2-0.2可以看作幂函数f(x)=x-0.2的两个函数值,因为函数f(x)=x-0.2在(0,+∞)上单调递减,所以2.3-0.2<2.2-0.2.
【例3】 比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;
(2)1.2,0.9,.
[思路点拨] 构造幂函数,借助其单调性求解.
[解]
(1)∵函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,
∴0.213<
0.233.
(2)0.9=,=1.1.
∵1.2>
>
1.1,且y=x在[0,+∞)上单调递增,
∴1.2>
1.1,即1.2>
0.9>
.
把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:
(1)0.5与0.5;
(2)-1与-1.
[解]
(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,
又>
,
所以0.5>
0.5.
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,
又-<
-,所以-1>
-1.
比较幂的大小时若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;
若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是“0”或“1”.
1.判断一个函数是否为幂函数,其关键是判断其是否符合y=xα(α为常数)的形式.
2.幂函数的图象是幂函数性质的直观反映,会用类比的思想分析函数y=xα(α为常数)同五个函数(y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x)图象与性质的关系.
3.幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据,要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.
1.思考辨析
(1)幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).( )
(2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限.( )
(3)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数.( )
(4)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.幂函数的图象过点(2,),则该幂函数的解析式是( )
A.y=x-1 B.y=x
C.y=x2D.y=x3
B [设f(x)=xα,则2α=,
∴α=,∴f(x)=x.
选B.]
3.函数y=x的图象是( )
A B C D
C [∵函数y=x是非奇非偶函数,故排除A、B选项.又>
1,故选C.]
4.比较下列各组数的大小:
(1)3与3.1;
(2)4.1,3.8,(-1.9).
[解]
(1)因为函数y=x在(0,+∞)上为减函数,
又3<
3.1,所以3>
3.1.
(2)4.1>
1=1,0<
3.8<
1=1,而(-1.9)<
0,所以4.1>
3.8>
(-1.9).
课后作业 幂函数
(建议用时:
60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知幂函数f(x)=k·
xα的图象过点,则k+α等于( )
A. B.1 C. D.2
A [∵幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点,∴k=1,f=α=,即α=-,∴k+α=.]
2.如图所示,给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )
A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-1
D.①y=x3,②y=x,③y=x2,④y=x-1
B [因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故应为图①;
y=x2为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项B正确.]
3.幂函数的图象过点(3,),则它的单调递增区间是( )
A.[-1,+∞) B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)
B [设幂函数为f(x)=xα,因为幂函数的图象过点(3,),所以f(3)=3α==3,解得α=,所以f(x)=x,所以幂函数的单调递增区间为[0,+∞),故选B.]
4.设α∈,则使函数y=xα的定义域是R,且为奇函数的所有α的值是( )
A.1,3B.-1,1
C.-1,3D.-1,1,3
A [当α=-1时,y=x-1的定义域是{x|x≠0},且为奇函数;
当α=1时,函数y=x的定义域是R,且为奇函数;
当α=时,函数y=x的定义域是{x|x≥0},且为非奇非偶函数;
当α=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.故选A.]
5.幂函数f(x)=xα的图象过点(2,4),那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A.(-2,+∞)B.[-1,+∞)
C.[0,+∞)D.(-∞,-2)
C [由题意得4=2α,即22=2α,所以α=2.所以f(x)=x2.
所以二次函数f(x)的单调递增区间是[0,+∞).]
二、填空题
6.已知幂函数f(x)=xm的图象经过点,则f(6)=________.
[依题意=()m=3,所以=-1,m=-2,
所以f(x)=x-2,所以f(6)=6-2=.]
7.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上是减函数,则实数m=________.
-1 [∵f(x)=(m2-m-1)x2m-3为幂函数,
∴m2-m-1=1,∴m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x,在(0,+∞)上为增函数,不合题意,舍去;
当m=-1时,f(x)=x-5,符合题意.
综上可知,m=-1.]
8.若幂函数y=x(m,n∈N*且m,n互质)的图象如图所示,则下列说法中正确的是________.
①m,n是奇数且<
1;
②m是偶数,n是奇数,且>
③m是偶数,n是奇数,且<
④m,n是偶数,且>
1.
③ [由题图知,函数y=x为偶函数,m为偶数,n为奇数,又在第一象限向上“凸”,所以<
1,选③.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=(m2+2m)·
x,m为何值时,函数f(x)是:
(1)正比例函数;
(2)反比例函数;
(3)幂函数.
[解]
(1)若函数f(x)为正比例函数,则
∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则
∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±
10.已知幂函数y=f(x)经过点.
(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.
[解]
(1)由题意,得f
(2)=2α=,即α=-3,故函数解析式为f(x)=x-3.
(2)∵f(x)=x-3=,∴要使函数有意义,则x≠0,即定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x),
∴该幂函数为奇函数.
当x>0时,根据幂函数的性质可知f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,∵函数f(x)是奇函数,∴在(-∞,0)上也为减函数,故其单调减区间为(-∞,0),(0,+∞).
[等级过关练]
1.函数y=x-2在区间上的最大值是( )
A.B.-1
C.4D.-4
C [
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