初中数学竞赛专题复习第一篇代数第4章方程组试题2新人教版Word格式.docx
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如果甲、乙每人各多行2千米,则有
解得
或
所以,甲、乙原来的速度分别是13(千米/时)、7(千米/时);
或者7(千米/时)、13(千米/时).
4.2.3★长90米的列车速度是每小时54千米,它追上并超过长50米的列车用了14秒,如果这两列火车相向而行,从相遇到完全离开要用多少时间?
解析两列火车的追及问题中,(车速
车速2)
追及时间
两列火车的长度之和.丙列火车的相向
相遇问题中,(车速
相遇时间
两列火车的长度之和.
设长90米的列车速度为
(米/秒),长50米的列车速度为
(米/秒).
对于追及,则有
,解得
(米/秒).
所以,两列火车相向而行从相遇至完全离开时所用时间为
(秒).
评注对于火车行程问题,首先将火车的运动情况分析清楚,再运用一些常用的数量关系式来求解即可.
4.2.4★火车通过长82米的铁桥用了22秒,如果它的速度加快1倍,通过162米长的铁桥就只用了
16秒,求这列火车原来的速度和它的长度.
解析设这列火车原来的速度为
米/秒,它的长度为
米.则依题意有
.即这列火车原来的速度为8米/秒,它的长度为94米.
4.2.5★某人骑自行车从
地到
地,途中都是上坡或下坡路,他以每小时12千米的速度下坡,以
每小时4千米的速度上坡.从
地用了50分钟,从
地返回
地用了
小时.求
两地相距多少千米?
解析设从
地,上坡路有
千米,下坡路有
千米,则
(千米).
所以,
两地相距7千米.
4.2.6★★甲、乙二人骑车在400米环形跑道上进行万米比赛.同时出发后,乙速大于甲速,在第15分钟时甲加快速度,在第18分钟时甲追上乙并开始超过乙,在第23分钟时,甲再次追上乙,而在第23分50秒时,甲到达终点,那么乙到达终点时所用的时间是多少分钟?
解析设出发时甲的速度为
米/分,乙的速度为
米/分,第15分钟甲加速后的速度为
米/分,依题意得
.
所以,乙到达终点的时间为
(分).
4.2.7★★甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点
出发,按相反方向跑步.甲速每秒6米,乙速每秒7米,直到它们第一次又在
处相遇之前,在途中共相遇多少次?
解析假设跑道长为
,甲、乙第一次又在
处相遇时所用时间为
,甲、乙相遇一次,则跑过的路程为一圈即
设甲、乙第一次又在
点相遇时共跑了
圈,则甲、乙两人第一次又在
点相遇所跑过的路程为
,即
甲、乙第一次又在
处相遇时,乙比甲多跑了一圈,
,则途中相遇次数为
(次).
即他们第一次又在
点相遇之前,在途中共相遇12次.
评注因为每圈相遇一次,最后一圈相遇
点,故为
次(起始点不算在内)
4.2.8★★某船往返于甲、乙两港之间,顺水而下需用8小时,逆水而上需要12小时,由于暴雨后水速增加,该船顺水而行是逆水而行所花时间的
,那么逆水而行需几小时?
解析设甲、乙两港之间距离为
,该船在静水中的速度为
千米/时,水速为
千米/时,水速增加后为
千米/时.
依题意得
所以水速增加后,该船逆水而行所需时间为
(小时).
评注解流水问题只要抓住基本公式:
顺水速度
船速
水速,逆水速度
水速,则很多该类型
题目都可以通过列方程组迎刃而解,上下坡问题跟流水问题也有类似之处.
4.2.9★★★甲、乙两人同时从圆形跑道上同一点出发,沿顺时针方向跑步,甲的速度比乙快,过了一段时间,甲第一次从背后追上乙,这时甲立即背转身子,以原来的速度沿逆时针方向跑去,当两人再次相遇时,乙恰好跪了4圈,试问甲的速度是乙的几倍?
解析本题是甲、乙两人跑圆圈,先同向,后反向.就问题的实质来说,跑圆圈和跑直线的思考方法相同.如果设甲的速度为
,乙的速度为
,跑道一圈的长为
.则有,乙跑4圈的速度是
,距离为
.再设乙跑4圈所用的时间为
,于是
所以,问题转化为如何根据已知条件列出关于
的表示时间的关系式就可以了.
设甲的速度为
,那么有
由于
,所以原方程可化为
即
本题要求的是甲的速度是乙的多少倍,所以,我们只需求出
为某一常数即可.于是,方程可化为
,或
(舍去).
所以,甲的速度是乙的
倍.
评注本题中
是多设的未知数,它对于列方程来说起到了桥梁作用,使列方程变得思路简单,易于理
解,在方程列出后,直接相约(或相消),又立即去掉了多设的未知数.这种方法称为设辅助元法.
4.2.10★★小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,
问:
发车间隔的时间是多少分钟?
解析设18路公交车的速度是
米/分,小王行走的速度是
米/分,同向行驶的相邻两车的间距为
米.
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车,则
.①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,则
.②
由①,②可得
,所以
即18路公交车息站发车间隔的时间是4分钟.
4.2.11★★
两地相距120千米,已知人的步行速度是每小时5千米,摩托车的行驶速度是每小时
50千米,摩托车后座可带一人.问有三人并配备一辆摩托车从
地最少需要多少小时?
(保留1位小数)
解析记此三人为甲、乙和丙,甲开摩托车后座带乙人,三人同时出发,甲和乙到
地所用时间设为
小时,并且放下乙,乙继续步行,到达
小时,而甲马上折返,在
地遇到丙后,携带丙乘摩托车驶向
地,为了与乙同时到达
地,
和
应当满足如下方程:
①甲和乙到达
地时,丙到达
地(见下图)步行的路程是
千米;
②
之间的距离是
③甲折返与丙在
地相遇所用时间是
小时;
④丙步行到
地,所用时间是
从
地乘摩托车到
所用时间是
而乙乘摩托车到
地步行到达
地所用时
间是
小时.
从上述分析,可以列出二元一次方程组
所以,有三人并配备一辆摩托车从
地最少需要
4.2.12★★一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做10个,则提前
天完成,
若他每天少做5个,则要误期3天.问他要做多少个零件?
比定期是多少天?
解析设这个工人要做
个零件,定期为
天,则他每天做
个零件.根据题目条件,若他每天多做10个,则可减少
天工期.所以
,同理,可列另一个方程.即可得方程组
所以,工人要做1350个零件,此定期为27天.
4.2.13★★某项工程,如果由甲、乙两队承包,
天完成,需付180000元;
由乙、丙两队承包,
天完成,需付150000元;
由甲、丙两队承包,
天完成,需付160000元.现在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队承包费用最少?
解析设甲、乙、丙单独承包各需
天完成,则
再设甲、乙、丙单独工作一天,各需付
元,则
于是,由甲队单独承包,费用是
(元).
由乙队单独承包,费用是
而丙队不能在一周内完成.所以由乙队承包费用最少.
4.2.14★★已知甲、乙、丙三人,甲单独做这件工作所用时间是乙、丙两人合作做这件工作所用时间的
倍,乙单独做这件工作所用时间是甲、丙两人合作做这件工作所用时间的
倍,求丙单独工作所用时间是甲、乙两人合作做这件工作所用时间的几倍.
解析甲、乙、丙独立完成这一工作分别需
天,再设整个工程是1.于是,乙单独做一天完成的工作量是
,丙是
,这样乙、丙合做一天完成的工作量是
,那么乙、丙合作这项工作所用的时间应是
天,依题意有
故丙独立完成这一工作需要的时间是甲、乙两人合作完成同一工作所需的时间的
4.2.15★★某商店经销一种商品,由于进货价降低了
,使得利润率提高了
,那么原来经销这种商品的利润率是多少?
解析本题虽然题干很短,但牵涉到的商业方面的概念及公式还是很丰富的.这里,写出几个与利润有
关的“盈亏”公式:
(1)利润
售出价
进货价;
(2)利润率
;
(3)进货价
本题涉及两种情况,可设原进价为
元,销售价为
元,并表示出按原价销售的利润率和按新价销
售的利润率,再根据两者之间的关系,得出
与
的数量关系,最后代入求值.
设原进货价为
元,由公式
(2)有
按原价销售的利润率为:
按新价销售的利润率为:
依题意列方程
解方程得
因此,原来经销这种商品的利润率
评注随着市场经济体制的建立,有关营销类应用问题已屡见不鲜,对这类问题,学生首先要了解一些
日常的基本常识和有关名词,如进货、售出价、利润、利润率、盈利、亏本等,同时要掌握好基本关系公式,巧妙地建立关系式.
4.2.16★★现有一块黄铜和一块青铜的混合物,其中含有
的铜,
的锌和
的锡.已知青铜含
的锡,而黄铜是铜和锌的合金.求黄铜含有铜和锌之比.
解析设黄铜中含铜
,则含锌
.黄铜和青铜的混合物中含黄铜
,青铜
.则
由①,得
,③
由②,得
,④
由③、④,得
所以,黄铜含有铜和锌之比是
4.2.17★★李明、张斌、王钢三人去文具店买练习本、圆珠笔和橡皮,李明买了4本练习本、一支圆珠笔和10块橡皮,共付了11元,张斌买了3本练习本、一支圆珠笔和7块橡皮,共付了8.9元,王钢买了一本练习本、一支圆珠笔和一块橡皮共付了多少钱?
解析设
分别表示1本练习本、1支圆珠笔和1块橡皮的价钱(以角为单位),得方程组
这是一个三个未知数二个方程的不定方裎,想从中求出
是很难的,但问题是要我们求
的值,故②
①
因此,王钢买1本练习本,1支圆珠笔和1块橡皮共付了4.7元.
4.2.18★★学校用一笔钱买奖品,若以一支钢笔和2本日记本为一份奖品,则可买60份奖品;
若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品,则可买50份奖品,问这笔钱全部用来买钢笔或日记本,可买多少?
解析由于这笔钱是未知的,若直接依题目要求去设未知数,则不易列方程.故像这类题目必需间接设
元.设钢笔
元/支,日记本
元/本,则这笔钱可表示为:
于是,这笔钱全用于
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