高三二轮复习理数 第1讲 函数的图象与性质教案Word版含答案Word文档下载推荐.docx
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(3)f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于x=
对称.
例1
(1)(2017·
山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
答案 6
解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,
∴f(919)=f(153×
6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)已知函数f(x)=2016x+log2016(
+x)-2016-x,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)>
0的解集为( )
A.(-∞,0)B.(0,+∞)
C.
D.
答案 D
解析 f(-x)=2016-x-2016x+log2016(
-x),其中log2016(
-x)=log2016
=-log2016(
+x),则f(-x)=-f(x),所以函数是奇函数,并且函数是单调递增函数.那么原不等式等价于f(3x+1)>
-f(x)⇔f(3x+1)>
f(-x),
即3x+1>
-x⇒x>
-
,故选D.
思维升华
(1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)<
f(x2)的形式.
跟踪演练1
(1)(2017届湖南长沙雅礼中学月考)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),
,则a,b,c满足( )
A.a<
b<
cB.b<
a<
c
C.c<
bD.c<
a
答案 B
解析 因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增.
又
,
所以
即b<
c,故选B.
(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-
,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(2018)=________.
答案 -8
解析 由条件可得f(x+6)=f(x),函数的周期为6,
f(2018)=f(6×
336+2)=f
(2)=f(-2)=-8.
热点二 函数图象及应用
1.作函数图象有两种基本方法:
一是描点法;
二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.
2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点.
例2
(1)(2017届郑州第一中学质量检测)函数f(x)=
cosx的图象大致为( )
答案 C
解析 ∵f(-x)=
cos(-x)
=
cosx=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除选项A,B.
又当x∈
时,f(x)<
0,图象在x轴下方,故选C.
(2)(2017届菏泽期末)若函数y=f(x)的图象上存在两个点A,B关于原点对称,则称点对[A,B]为y=f(x)的“友情点对”,点对[A,B]与[B,A]可看作同一个“友情点对”,若函数f(x)=
恰好有两个“友情点对”,则实数a的值为( )
A.-2B.2
C.1D.0
解析 首先注意到(0,a)没有对称点.当x>
0时,f(x)=-x3+6x2-9x+a,则-f(-x)=-x3-6x2-9x-a,即-x3-6x2-9x-a=2(x<
0)有两个实数根,即a=-x3-6x2-9x-2(x<
0)有两个实数根.画出y=-x3-6x2-9x-2(x<
0)的图象如图所示,由图可知当a=2时有两个解.
思维升华
(1)根据函数的解析式判断函数的图象,要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手,结合给出的函数图象进行全面分析,有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断,这是判断函数图象问题的基本方法.
(2)判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后,导函数发生了变化,故导函数和原函数定义域会有所不同,我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.
跟踪演练2
(1)(2017·
全国Ⅰ)函数y=
的部分图象大致为( )
解析 令f(x)=
∵f
(1)=
>0,f(π)=
=0,
∴排除选项A,D.
由1-cosx≠0,得x≠2kπ(k∈Z),
故函数f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(-x)=
=-
=-f(x),
∴f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故选C.
(2)已知函数f(x)=
+
,g(x)=a2x3-2ax2+x+a(a∈R).在同一直角坐标系中,函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( )
解析 因为f(x)=
所以f′(x)=ax2-x+
若a=0,则选项D是正确的,故排除D.
若a<
0,选项B中的二次函数的判别式Δ=1-4a·
=1-2a2<
0,所以a2>
,又a<
0,所以a<
.
二次函数f′(x)的图象的对称轴为x=
三次函数g(x)=a2x3-2ax2+x+a,
所以g′(x)=3a2x2-4ax+1=3a2
令g′(x)>
0,得x<
或x>
令g′(x)<
0,得
<
x<
所以函数g(x)=a2x3-2ax2+x+a的极大值点为x=
,极小值点为x=
由选项B中的图象知
,但a<
>
所以选项B的图象错误,故选B.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1.指数函数y=ax(a>
0,a≠1)与对数函数y=logax(a>
0,a≠1)的图象和性质,分0<
1,a>
1两种情况,着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质.
2.幂函数y=xα的图象和性质,主要掌握α=1,2,3,
,-1五种情况.
例3
(1)(2017·
深圳调研)设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是( )
A.a>
b>
cB.b>
a>
C.b>
c>
aD.c>
解析 根据指数函数和对数函数的增减性知,因为0<
a=0.23<
0.20=1,b=log0.30.2>
log0.30.3=1,c=log30.2<
log31=0,所以b>
(2)(2017届福建福州外国语学校期中)函数f(x)=
在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2)B.(2,3)
C.(2,3]D.(2,+∞)
解析 ∵f(x)在R上单调递增,
∴
∴2<
a≤3,故选C.
思维升华
(1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一,重点考查图象、性质及其应用,同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力.
(2)比较代数式大小问题,往往利用函数图象或者函数的单调性.
跟踪演练3
(1)(2017·
全国Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<
3y<
5zB.5z<
2x<
3y
C.3y<
5z<
2xD.3y<
5z
解析 令t=2x=3y=5z,
∵x,y,z为正数,∴t>
1.
则x=log2t=
,同理,y=
,z=
∴2x-3y=
0,
∴2x>
3y.
又∵2x-5z=
∴2x<
5z,
∴3y<
5z.故选D.
(2)设函数f(x)=
(a>
0且a≠1).若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是________.
答案 [2,+∞)
解析 函数f(x)=
0,且a≠1).
若f(x)在R上是增函数,则有
∴a≥2.
真题体验
1.(2017·
全国Ⅲ改编)函数y=1+x+
的部分图象大致为________.(填序号)
答案 ④
解析 当x→+∞时,
→0,1+x→+∞,y=1+x+
→+∞,故排除②;
当0<x<
时,y=1+x+
>0,故排除①③.
故填④.
2.(2017·
天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f
,b=f
,c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为____________.
答案 c<
解析 ∵f(x)在R上是奇函数,
∴a=-f
=f
=f(log25).
又f(x)在R上是增函数,
且log25>log24.1>log24=2>20.8,
∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),∴a>b>c.
3.(2017·
山东改编)设f(x)=
若f(a)=f(a+1),则f
=________.
解析 若0<a<1,由f(a)=f(a+1),
得
=2(a+1-1),
∴a=
,∴f
=f(4)=2×
(4-1)=6.
若a≥1,由f(a)=f(a+1),
得2(a-1)=2(a+1-1),无解.
综上,f
=6.
4.(2017·
全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
答案 12
解析 方法一 令x>0,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f
(2)=2×
23-22=12.
方法二 f
(2)=-f(-2)
=-[2×
(-2)3+(-2)2]=12.
押题预测
1.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是( )
押题依据 指数、对数函数的图象
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