几何压轴题Word文档格式.docx
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∠DAC=∠BAC=45°
,
∴AC==4,
∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°
∴∠AHC=∠ACG.
故答案为=.
AC2=AG•AH.
理由:
∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°
∴△AHC∽△ACG,
=,
∴AC2=AG•AH.
(3)①△AGH的面积不变.
∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×
(4)2=16.
∴△AGH的面积为16.
②如图1中,当GC=GH时,易证△AHG≌△BGC,
可得AG=BC=4,AH=BG=8,
∵BC∥AH,
∴==,
∴AE=AB=.
如图2中,当CH=HG时,
易证AH=BC=4,
∴==1,
∴AE=BE=2.
如图3中,当CG=CH时,易证∠ECB=∠DCF=22.5°
.
在BC上取一点M,使得BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°
∵∠BME=∠MCE+∠MEC,
∴∠MCE=∠MEC=22.5°
∴CM=EM,设BM=BE=x,则CM=EM=x,
∴x+x=4,
∴m=4(﹣1),
∴AE=4﹣4(﹣1)=8﹣4,
综上所述,满足条件的m的值为或2或8﹣4.
【点评】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
2.(安徽合肥包河区一模23)如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:
图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA,最后用互余即可得出结论;
(2)先判断出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同
(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同
(1)的方法即可得出结论;
(3)方法1:
先判断出MN最大时,△PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2:
先判断出BD最大时,△PMN的面积最大,而BD最大是AB+AD=14,即可得出结论.
(1)∵点P,N是BC,CD的中点,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵点P,M是CD,DE的中点,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°
∴∠ADC+∠ACD=90°
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°
∴PM⊥PN,
故答案为:
PM=PN,PM⊥PN;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋转知,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,
∴△PMN是等腰三角形,
同
(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同
(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∴∠ACB+∠ABC=90°
∴∠MPN=90°
∴△PMN是等腰直角三角形;
如图2,同
(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大时,△PMN的面积最大,
∴DE∥BC且DE在顶点A上面,
∴MN最大=AM+AN,
连接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×
MN2=×
(7)2=.
方法2:
由
(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,
∴PM最大时,△PMN面积最大,
∴点D在BA的延长线上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
72=.
【点评】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;
解
(1)的关键是判断出PM=CE,PN=BD,解
(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE,解(3)的关键是判断出MN最大时,△PMN的面积最大.
3.(安徽合肥肥东县一模23)已知:
AD是△ABC的高,且BD=CD.
(1)如图1,求证:
∠BAD=∠CAD;
(2)如图2,点E在AD上,连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△A′BE,A′B与AC相交于点F,若BE=BC,求∠BFC的大小;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接EF,过点C作CG⊥EF,交EF的延长线于点G,若BF=10,EG=6,求线段CF的长.
(1)利用线段的垂直平分线的性质证明AB=AC,再利用等腰三角形的性质即可解决问题;
(2)如图2中,连接EC.首先证明△EBC是等边三角形,推出∠BED=30°
,再由∠BFC=∠FAB+∠FBA=2(∠BAE+∠ABE)=2∠BED=60°
解决问题;
(3)如图3中,连接EC,作EH⊥AB于H,EN⊥AC于N,EM⊥BA′于M.首先证明∠AFE=∠BFE=60°
,在Rt△EFM中,∠FEM=90°
﹣60°
=30°
,推出EF=2FM,设FM=m,则EF=2m,推出FG=EG﹣EF=6﹣2m,FN=EF=m,CF=2FG=12﹣4m,再证明Rt△EMB≌Rt△ENC(HL),推出BM=CN,由此构建方程即可解决问题;
【解答】
(1)证明:
如图1中,
∵BD=CD,AD⊥BC,
∴AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD.
(2)解:
如图2中,连接EC.
∵BD⊥BC,BD=CD,
∴EB=EC,
又∵EB=BC,
∴BE=EC=BC,
∴△BCE是等边三角形,
∴∠BEC=60°
∴∠BED=30°
由翻折的性质可知:
∠ABE=∠A′BE=∠ABF,
∴∠ABF=2∠ABE,由
(1)可知∠FAB=2∠BAE,
∴∠BFC=∠FAB+∠FBA=2(∠BAE+∠ABE)=2∠BED=60°
(3)解:
如图3中,连接EC,作EH⊥AB于H,EN⊥AC于N,EM⊥BA′于M.
∵∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠A′BE,
∴EH=EN=EM,
∴∠AFE=∠EFB,
∵∠BFC=60°
∴∠AFE=∠BFE=60°
在Rt△EFM中,∵∠FEM=90°
∴EF=2FM,设FM=m,则EF=2m,
∴FG=EG﹣EF=6﹣2m,
易知:
FN=EF=m,CF=2FG=12﹣4m,
∵∠EMB=∠ENC=90°
,EB=EC,EM=EN,
∴Rt△EMB≌Rt△ENC(HL),
∴BM=CN,
∴BF﹣FM=CF+FN,
∴10﹣m=12﹣4m+m,
∴m=1,
∴CF=12﹣4=8.
【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
4.(河南平顶山叶县一模22)有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°
后得到矩形AMEF(如图1),连接BD,MF,若BD=16cm,∠ADB=30°
(1)试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)把△BCD与△MEF剪去,将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1,边AD1交FM于点K(如图2),设旋转角为β(0°
<β<90°
),当△AFK为等腰三角形时,求β的度数;
(3)若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如图3),F2M2与AD交于点P,A2M2与BD交于点N,当NP∥AB时,求平移的距离.
(1)有两张完全重合的矩形纸片,将其中一张绕点A顺时针旋转90°
后得到矩形AMEF(如图1),得BD=MF,△BAD≌△MAF,推出BD=MF,∠ADB=∠AFM=30°
,进而可得∠DNM的大小.
(2)分两种情形讨论①当AK=FK时,②当AF=FK时,根据旋转的性质得出结论.
(3)求平移的距离是A2A的长度.在矩形PNA2A中,A2A=PN,只要求出PN的长度就行.用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例,即可得到A2A的大小.
(1)结论:
BD=MF,BD⊥MF.理由:
如图1,延长FM交BD于点N,
由题意得:
△BAD≌△MAF.
∴BD=MF,∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°
∴∠DNM=90°
∴BD⊥MF.
(2)如图2,
①当AK=FK时,∠KAF=∠F=30°
则∠BAB1=180°
﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°
﹣90°
﹣30°
=60°
即β=60°
;
②当AF=FK时,∠FAK=(180°
﹣∠F)=75°
∴∠BAB1=90°
﹣∠FAK=15°
即β=15°
综上所述,β的度数为60°
或15°
(3)如图3,
由题意得矩形PNA2A.设A2A=x,则PN=x,
在Rt△A2M2F2中,∵F2M2=FM=16,∠F=∠ADB=30°
∴A2M2=8,A2F2=8,
∴AF2=8﹣x.
∵∠PAF2=90°
,∠PF2A=30°
∴AP=AF2•tan30°
=8﹣x,
∴PD=AD﹣AP=8﹣8+x.
∵NP∥AB,
∴∠DNP=∠B.
∵∠D=∠D,
∴△DPN∽△DAB,
∴=,
解得x=12﹣4,即A2A=12﹣4,
∴平移的距离是(12﹣4)cm.
【点评】本题属于四边形综合题,主要考查了旋转的性质,相似
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