小学数学《等差数列》练习题含答案Word文档格式.docx
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一个数列全部项的个数,通常用n来表示;
公差:
等差数列每两项之间固定不变得差,通常用d来表示;
和:
一个数列的某些项的和,常用Sn来表示・
(3)三个重要的公式:
1通项公式:
末项二首项+(项数-DX公差
an=ai+(n_1)Xd
回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让同学明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔的公差个数,或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式:
aιl-aιlt=(n-m)×
cl,
2项数公式:
项数二(末项-首项)一公差+1(其实此公式是由①推导出来的,教师也可以帮助同学推导,可以为以后的解方程做好铺垫)
由通项公式可以得到:
n=(alt-al)÷
d+\(若Ull);
n=(al-an)÷
d+\
(若Aa”).
找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的!
找找下面数列的项数:
4、7、10、13、•・••••、40、43、46,分析:
配组:
(4、5、6)、
(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、……、(46、47、48),注意等差是3,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位,所以46应在最后一组第1位,4到48有48-4+1=45项,每组3个数,所以共45÷
3=15组,原数列有15组.当然,我们还可以有其他的配组方法.
3求和公式;
和=(首项+末项)X项数÷
2
sl,=(al+an)×
n÷
对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手:
(思路1)1+2+3+…+98+99+100
=(1+IOo)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)
Viz>
50-MoL
=101x50=5050
(思路2)这道题目,我们还可以这样理解:
和=1+2+3+4+....+98+99+100+和二100+99+98+97+....+3+2+1
2倍和=101+101+101+101++101+101+101
100
即,和=(IOO+l)xl00∙j∙2=101x50=5050
(4)中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首相与末项和的一半;
或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数•
(1)4+8+12+...+32+36=(4+36)×
9÷
2=20×
9=180,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20X9;
(2)65+63+61+...+5+3+1=(1+65)×
33÷
2=33X33=1089,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33X33.
如果是一个项数为偶数的等差数列,我们该如何运用这个公式呢?
其实我们可以将其去掉一项,变成奇数项,求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.
计算:
124.68+324.68+524.68+724.68+924.68
这是一列等差数列,项数是奇数,中间数是524.68,所以可以用5X524.68=2623.4.
等差数列是小学奥数的一个重要知识,无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列,但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式,
而应该把原理讲透∙
【复习2]某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位•问:
这个剧一共有多少个座位?
首项:
70-(25-1)X2=22,座位总数:
(22+70)×
25÷
2=1150.
【复习3】小明从1月1日开始写大字。
第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月(总共31天)共写了589个大字,问:
小明每天比前一天多写多少个字?
数列末项为:
589x2÷
31-4=34,所以公差为(34—4片30=1,小明每天比前一天多写1个大字.
【复习4】建筑工地有一批砖,码成如右图形状,最上层两块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比其上面一层多4块砖,已知最下层2106块砖,问中间一层多少块砖?
这堆砖共有多少块?
如果我们把每层砖的块数依次记下来,2,6,10,14,-容易知道,是一个等差数列。
2106是第n=(2106-2)÷
4+l=527层,中间一层是第(527+1)÷
2=264层.那么中间一层有:
2+(264-1)X4=1054块,这堆砖共有:
1054X527=555458(块)•
例题精讲
【例1】计算:
(1)61+692+6993+69994+699995+6999996
(2)0∙1+0.2+0.3+∙∙∙+0.9+0.10+0.ll+∙∙∙+O∙98+0.99
(1)原式=(70-9)+(700-8)+(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000.4)
=力力770-(9+8+7+6+5+4)
=7777731
(2)分析:
仔细观察发现这串数并不是一个等差数列,但是我们可以分为0.1至0・9和0・10至0.99两部分,这样就变成等差数列了,然后再求和.
第一部分:
0.1+0.2+0.3+-+0.9=4.5;
第二部分:
0.10+0.ll+∙∙∙+O.98+0.99=(0.1+0.99)X90÷
2=49.05;
因此总和等于:
49.05+4.5=53.55•
【巩固】
(1)计算:
0.1+0∙3+()∙5+0∙7+0∙9+0∙ll+0∙13+0∙15+0∙17+…+0∙97+().99∙
(2)计算72+793+7994+79995+799996=.
(1)原式=(0.1+0.3+0.5+0.7+0.9)+(0.11+0.13+0.15+0.17+...+0.97+0.99)=(0.1+0.9)×
5÷
2+(0.11+0.99)×
45÷
2=27.25.
(2)原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)
=888880-(8+7+6+5+4)=888850
【例2】(04陈省身杯数学邀请赛)
44444
(10-一×
l)+(9-一×
2)+(8-一X3)+∙∙∙+(2-—×
9)+(l-一×
10)=
5555555555
4
原式=(10+9+8+∙∙∙+l)-—×
(1+2+3+—+10)
=55——×
55=51
55
【例3】计算:
1+3+4+6+7+9+10+12+13+...+66+67+69+70;
可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69,对他们分别求和:
(1+70)×
24÷
2+(3+69)×
23÷
2=1680.
【例4】(04走进美妙数学花园)如右图,25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形,在图中每个结点处都标上一个数,使得图中每条宜线上所标的数都顺次成等差数列•已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100,200,80()∙求所有结点上数的总和.
如右下图,各结点上放置的数如图所示•从100到300这条宜线上的各数的平均数是200,平行于这条直线的每条直线上的各数的平均数都是200.所以21个数的平均数是200,总和为200x21=4200.
【例5】在1〜200这二百个自然数中,所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?
先求出能被4整除的自然数和,再求出能被11整除的自然数和,将二者相加,但是此时得到的不是题目需要的和,因为44,88等数在两个数列中都存在,也就是说能被44整除的数列被计算了两次,所以我们还应该减去能被44整除的数列和.
(4+8+12+-+200)+(11+22+33+-+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×
50÷
2+(ll+198)X18
÷
2-(44+176)×
4÷
2=6541.
【前铺】在1〜IOO这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少?
分析:
我们先计算1〜100的自然数和,再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了.l+2+∙∙∙+100=(l+100)X100÷
2=5050,
9+18+27+∙∙∙+99=(9+99)Xll÷
2=594,所有不能被9整除的自然数和:
5050-594=4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,所以我们先计算所有1〜100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了.
【前铺】100到200之间不能被3整除的数之和是多少?
分析:
考虑能被3整除的各数之和102+105+-+198;
然后(100+101+102+-+200)—(102+105+-+198)=10200.
【例6】已知有一个数列:
1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4••・•••,试问:
(1)15是这样的数列中的第几个到第几个数?
(2)这个数列中第100个数是几?
(3)这个数列前100个数的和是多少?
分析可得下表:
数:
1234567-141516••••••
个数:
2468101214…283032
(1)2+4+6+-+28=210,所以15是第211个到240个
(2)在这个数列中前9组的个数是:
2+4+6+∙∙∙+18二90个
这个数列前10组的个数是:
2+4+6+∙∙∙+20=110
而90<
100(110,所以第IOo个数是第10组中数,是10
(3)这个数列中前100个数的和是:
lX2+2X4+3X6+∙∙∙+9X18+10X10二670
【例7】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…,问:
这个数列中第2000个数是多少?
第2003个数是多少?
分析:
奇数项的排列规律是:
2、4、6、8,…
偶数项的排列规律是:
3、6、9、12,…
先求出这两个数各自在等差数列中的项数:
第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷
2=1000个数,第2003个数在奇数项等差数列中是第(2003+1)÷
2=1002个数,所以第2000个数是3000,第2003个数是2004.
【拓展】求出原题中的前100项和,并判断出IOOSIlK120分别是数列中的第几项。
前100项的和=(3÷
150)×
2÷
(2+1
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