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整学期可安排1—2次相关讲座,介绍现代代数学的研究方法或研究成果。
本学期已经准备讲座内容:
群与Goldbach猜想。
教学手段:
黑板板书与Powerpoint课件相结合。
主要参考书:
1.张禾瑞,近世代数基础,1952第一版,1978年修订版,高等教育出版社
2.刘绍学,近世代数基础,(面向21世纪课程教材,“九五”国家级重点教材)高等教育出版社,1999
3.石生明,近世代数初步,高等教育出版社2002
4.B.L.VanderWaerden,代数学,丁石孙,曾肯成,郝鈵新,曹锡华译,1964卷1,1976卷2,科学出版社
5.M.Kline,古今数学思想,卷1-4,张理京,张锦炎,江泽涵译,上海科技出版社2002
第二章数环与数域
本章教学目标:
1.熟悉整数剩余类环的运算,了解整数剩余类环在数论研究中的作用。
2.数环就是数系,熟悉各种不同形态的数环与数域;
有限的、无限的;
交换的、不交换的。
3.学习整环的分式域、素域与扩域的理论。
4.综合应用数环与数域的初等方法证明欧拉二平方和定理、Lagrange四平方和定理。
5.本章通过若干数论定理的学习,使学生了解和熟悉环论的初等方法,为第3章与第5章学习系统的扩域理论奠定基础。
教学时数:
共6节,8学时
2.1整数剩余类环
复习引入:
通过整数的整除性问题,了解引入整数剩余类环的必要性,一方面使学生知道同余类方法是数论的基本工具,另一方面整数剩余类环也是一类重要的数环。
内容要点:
1.整数剩余类环的定义及基本性质。
2.环同态定义、理想定义、环同态基本定理。
3.整数剩余类环是整数环的同态像。
讲授内容:
整数的整除性是整数最重要的性质,它是数论研究的一个重要的内容。
整除性问题常常是数论中的困难问题。
法国数学家费马(PierredeFermat,1601-1665)曾经认为形如+1的数都是素数,直到大约100年之后+1的一个非平凡因子641才被数学家欧拉(LeonhardEuler,1707—1783)发现,欧拉得到分解232+1=4294967297=641×
6700417,可见整数的整除问题具有一定的难度。
研究整数整除性的一个重要工具是带余除法。
对于两个整数a,b(b>
0)存在整数q,r使a=qb+r且0≤r<b。
式中q称为商,r称为余数。
在整除性问题中我们主要关心余数,而不关心商。
因此有下面的同余概念。
定义1假定m是一个正整数,两个整数a与b如果满足条件m︱a-b,则称a与b模m的同余,记为a≡b(m)。
由1.2节知模m同余是整数集Z上的一个等价关系,其商集记为Zm,其元素记为[a],称之为模m的一个剩余类。
定义Zm上的加法与乘法运算:
[a]+[b]=[a+b]
[a]·
[b]=[ab]
容易知道上面的加、乘运算的定义与剩余类中代表元的选法无关,即当[a]=[a1],[b]=[b1]时[a]+[b]=[a1]+[b1],[a]·
[b]=[a1]·
[b1]。
定理2.1.1Zm成为一个环。
该定理证明没有太多困难,仅仅是按定义作常规验证。
证明留给读者作为练习。
Zm称为模m剩余类环,这是一个包含m个元素的有限环。
我们也可以把它看成一个有限数系。
借助环Zm常常可以简化整数中的计算问题,特别是整除性问题。
例Z2仅含两个元[0]与[1],每个偶数与0同余,每个奇数与1同余。
如果我们用[0]代表偶,[1]代表奇,则剩余类环Z2中的运算实际上表示了整数运算的奇偶性法则:
奇+奇=偶,奇+偶=奇,偶+偶=偶
奇·
奇=奇,奇·
偶=偶,偶·
偶=偶
定义2设R与S是两个环,映射ƒ:
R→S若满足条件:
对每a,b∈R有ƒ(a+b)=ƒ(a)+ƒ(b),ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b),则ƒ称为环同态。
若ƒ是满映射,则ƒ称为满同态;
若ƒ是单映射,则ƒ称为单同态;
若ƒ是既单又满的环同态,则称ƒ为环同构。
满同态记为ƒ:
R~S
环同构记为ƒ:
R≅S
定义3两个域同态或同构是指它们作为环同态或同构。
定理2.1.2定义映射ƒ:
Z→Zm使ƒ(a)=[a],则ƒ是环同态。
证证明十分简单,略去。
为了进一步讨论整数剩余类环的性质,我们先证明一个整数方面的定理。
定理2.1.3两个整数a、b互素的充分必要条件是存在整数s、t使sa+tb=1。
证如果条件sa+tb=1成立,则a、b互素,因为这时a,b的公因子d∣sa+tb=1,d=±
1。
反过来假定a、b互素,不妨设a与b都是正整数。
对a+b作归纳。
由带余除法,存在整数q、r使a=qb+r且0≤r<b。
如果r=0,则b|a,但因a、b互素,故b=1,当然存在整数s、t使sa+tb=1。
如果r≠0,则b,r互素。
由归纳存在整数s1,t1使s1b+t1r=1,于是t1a=t1qb+t1r=t1qb+1-s1b。
因此t1a+(s1-t1q)b=1,定理得证。
定理2.1.4若p是素数,则Zp是域。
证只要证明Zp中的非零元素集成为一个乘法群。
设[a]≠[0],由定理2.1.3存在整数s,t使sa+tp=1,于是[s][a]=[1],说明[s]是[a]在Zp中的逆元素,因而Zp中的全体非零元素集组成一个乘法群。
注:
Zp是我们过去在代数中未遇到过的有限域。
像整数模n剩余类环一样,对于一般的环也可以作剩余类环。
为此我们引入一个在环论研究中十分重要的定义,这个定义称为“理想”。
定义4设R是一个环,A是R的一个子环,如果A满足下面条件:
对每r∈R有rA,Ar⊆A,其中rA={ra|a∈A},Ar={ar|a∈A},则称A是R的理想。
如果A是R的理想,定义R上的一个二元关系a~b当且仅当a-b∈A。
容易检验~是R上的一个等价关系,商集合记为=R/A。
的元记为[r]=r+A,定义上的运算[a]+[b]=[a+b],[a][b]=[ab]。
这样成为一个环,称之为模A剩余类环。
我们有下面的同态基本定理
定理2.1.5
(1)假定R与是两个环,并有环同态ϕ:
R~,则A={r∈R|=}是R的理想,且有环同构≅R/A。
上面的ϕ称为自然同态,记A=kerϕ,称之为同态ϕ的核。
(2)反之,若A是R的理想,则有环同态R~R/A=。
证
(1)对每a、b∈A,ϕ(a-b)=-=,故a-b∈A,说明A是一个加群。
进一步若r∈R,a∈A,则ϕ(ra)==,ra∈A,同样ar∈A。
因此A是R的理想。
容易验证ψ:
→r+A是环同构≅R/A。
(2)容易知道映射ϕ:
R→R/A使ϕ(r)=是环同态。
思考问题4问定理2.1.2中环同态ƒ:
Z→Zm的同态核A=?
解答:
同态核A=(m)={am|a∈Z},因此由定理2.1.5Zm≌Z/(m)。
练习作业
1.设m是一个正整数,证明同余的性质
(1)若a≡b(m),c=d(m),则a±
c≡b±
d(m)
(2)若a≡b(m),c=d(m),则ac≡bd(m)
(3)若a≡b(m),则ad≡bd(m)
(4)若ad≡bd(m),且(d,m)=1,则a≡b(m)
2.Z是整数环,2Z={2a︱a∈Z}在整数运算之下成为一个环,可以称它为偶数环,ƒ:
a→2a是Z→2Z的一个映射,问ƒ是不是环同构?
3.设R是一个有单位元的环,a,b∈R,证明1-ab可逆当且仅当1-ba可逆。
4.假定R是一个交换环,证明A={a∈R|存在某个正整数n使an=0}是R的一个理想。
这个理想称为幂零元理想。
2.2整环的分式域
上节我们从整数环出发,构造整数模n剩余类环Zn,由同态基本定理,剩余类环Zn≌Z/(n)。
这样,我们实际从一个无限数系得到一有限数系。
有限数系Zn在数论研究中有重要价值。
数系发展的另一个方向是从整数系统构造出分数系统,既有理数系统。
本节我们将把这样的数系扩充推广到一般的整环上。
1.证明整环嵌入分式域定理。
2.整环的分式域是包含这个整环的最小域。
3.了解一些常见整环分式域的实例。
讲解内容:
在数系发展的历史上,由整数系到有理数系的扩展是最简单、最容易被认识的一次,这种数系的扩展理论作为“比与比例论”是由古希腊数学家Eudoxus建立的,并被收入欧几里德(Eudid)《几何原本》的第五卷。
两个可公度的量a与b可以通过下面的方法来比较。
选定一个(足够小的)公共单位量,使量a是单位量的整数倍,b也是单位量的整数倍。
在这一观点之下,量a与b实际都可认为与一个整数对应。
现在量a与b的比就是两个整数的比a/b。
Eudoxus发现这种“比”可以进行运算,其运算法则是
(1)
(2)
(3)
上面这种整数的“比例论”实际上就是有理数系的代数理论。
Eudoxus的比例论启发我们可以用类似的“比例论”方法把一个具有与整数环性质相当的环扩展成为一个域。
由此我们有下面的整环的定义。
定义1设R是一个环,对R的每两个非零元a、b,如果ab=0则a称为R的左零因子,b称为R的右零因子。
当R是交换环时零因子没有左、右的区别。
一个有单位元的交换环若没有零因子,则称为整环。
例整数环当然是整环;
域上的多项式环也是整环;
Zn是整环当且仅当n是素数。
定义2设R是一个环,S是R的一个非空子集,如果S在R的加法与乘法运算之下也成为一个环,则S称为R的子环,我们说一个环S1可以嵌入环R,是指环S1与R的一个子环S同构。
下面的定理与Eudoxus的比例论相当。
定理2.2.1每一个整环都可以嵌入一个域。
证证明分为以下三步
(1)设已知的整环为R。
作集合A={(a,b)∣a,b∈R,b≠0}。
定义A上的关系(a,b)~(c,d)当且仅当ad=bc,容易验证这是一个等价关系。
记F为A的等价类作成的集合,把F的元素表为,定义F上的运算
+=;
.
容易验证上面的运算与等价类代表元的取法无关,即如果
=,=则+=+,.=..
(2)验证F在上面定义的运算之下成为一个域。
首先F成为一个加群,其零元素是,-=,F对于乘法封闭,且F中的非零元成为一个群,群的单位元是,而且()-1=。
分配律成立:
(+)=()=()=
+=.+.,因此F是一个域。
(3)F的子集R1={|a,bR,b0}组成F的一个子环,命ϕ:
RR1使ϕ(a)=,由于b1≠0时=,故ϕ是R到R1上的映射。
若=,则a1b1b=abb1,于是(a1-a)bb1=0,但因R是整环,没有零因子,故a1=a,说明ϕ是一一映射。
容易验证ϕ是环同构,因此R与域F的一个子环同构。
定理得证。
注1.定理2.2.1的证明不依赖R有单位元这一条件,因此实际上我们证明了每个没有零因子的交换环都可以嵌入一个域。
2.由整环R所构造的域F,其元素形如,因此F称为R的分式域。
3.整数环的分式域是有理数域。
下面的定理说明分式
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