集合与集合的表示方法Word文档格式.docx

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（3）清华大学2010级的新生；

（4）平面直角坐标系中，第一象限内的一些点；

（5）的近似值的全体.

2、元素与集合的关系

元素与集合的关系有属于和不属于两种：

元素属于集合，记作；

元素不属于集合，记作。

例题2：

已知，，则与之间是什么关系？

3、集合中元素的特性

（1）确定性：

设是一个给定的集合，是某一具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

例如,可知。

（2）互异性：

“集合中的元素必须是互异的”，就是说“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。

如方程的解集记为，

（或自然数集），记作.

（2）非负整数集内排除的集合，也称正整数集，记作或.

（3）全体整数的集合通常简称为整数集.

（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作.

（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作.

例题5：

给出下列关系：

属于；

；

；

其中正确的个数为（）

二、方法与技巧平台

6、元素分析法

解决集合问题，应对集合的概念有深刻理解，解题时能不能把集合问题转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。

元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？

具备哪些性质？

是否满足元素的三个特性？

（即确定性、互异性、无序性）

例题6：

（1）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求的值。

（2）设集合，求实数的取值范围。

三、创新与思维拓展

7、利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题

集合与方程有密切联系，利用集合中元素的特性，即元素的互异性、无序性、确定性，再结合方程的解法，可以求出集合中参数的值。

例题7：

已知集合

（1）若是空集，求的取值范围；

（2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来；

（3）若中至多只有一个元素，求的取值范围。

速效基础演练

1、给出下列四组对象，其中能构成集合的个数为（）

（1）高一

（2）班所有身高以上的同学

（2）高一

（2）班所有高个子同学（3）个英文字母（4）所有无理数

2、给出下面几个关系式：

其中正确关系式的个数是（）

3、已知集合的三个元素是的三边长，那么一定不是（）

锐角三角形直角三角形钝角三角形等腰三角形

4、已知集合,则集合中元素个数是（）

5、所给下列关系式中正确的个数是（）

（1）

（2）（3）（4）

6、已知集合中只含有两个元素，求实数不能取的值。

7、以方程的根为元素的集合含有两个元素，求实数的取值范围？

8、已知集合是由三个元素组成的集合，且，求实数的值。

1.1.2集合的表示方法

1、集合的表示方法

（1）列举法：

就是把集合中元素一一列举出来的方法，置于大括号内。

例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为。

（2）描述法：

就是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

描述法有两种不同的表示形式。

形式一：

将说明元素性质的一句话写在大括号内，即文字描述法。

形式二：

在大括号内，首先写出集合元素的表现形式（称之为代表元素）和它的范围，再画一条竖线（或一个冒号，或一个分号），然后写上元素所满足的条件（性质），即符号描述法，其基本形式如下：

具有性质，或具有性质，或；

具有性质。

（3）图示法（维恩图）：

为了便于直观的认识集合，我们常常用平面上一条封闭曲线所围成的图形（如圆、矩形等）来表示一个集合，这就是维恩图。

例如，集合，可用下列所示几个图形来表示。

用列举法把下列集合表示出来

（1）；

（2）；

（3）方程组的解集；

（4）由所确定的实数集合。

例题2：

用特征性质描述法表示下列集合：

（1）方程的所有实数根组成的集合；

（2）由大于小于的所有整数组成的集合。

例题3：

用图示法表示下列集合

（2）的正约数。

例题4：

用列举法表示下列集合

（1）是的约数；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）分别是的正整数约数。

2、如何使用列举法表示集合

用列举法表示集合时，必须注意以下几点：

（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；

（2）集合中的元素必须是明确的；

（3）不必考虑元素出现的先后次序；

（4）集合中的元素不能重复；

（5）集合中的元素可以表示任何事物；

（6）一般说来，列举法适用于有限集，但对于含有较多元素的有限集，如果构成该集合的元素具有明显的规律，也可以用列举法表示，但必须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如.

用列举法表示集合其优点是集合中的元素清晰可见，一目了然，但对于无限集合且元素的规律又不太明显时，就显得力不从心。

例题5：

用描述法表示图1-1-2-4中阴影部分（含边界）的点的坐标集合。

3、如何使用描述法表示集合

描述法分为文字描述和符号描述，使用文字描述的关键是用文字符号把元素所具有的属性描述出来，如自然数；

用符号描述表示集合时应注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数、还是有序实数对（点）、还是集合、还是其他形式？

（2）元素具有怎样的属性，当题目中用了其它字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

用描述法表示集合时，需要多层次描述属性时，可选用逻辑连接词“且”与“或”等连接；

若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围。

描述法突出了元素所具有的属性，其中文字描述法通俗易懂；

而符号描述法则简洁概括，但有点抽象，不易看出集合中到底有哪些元素。

用适当的方法表示下列集合：

（1）比大的数；

（2）方程的解集；

（3）二次函数图像上所有点组成的集合。

4、如何使用图示法表示集合

用图示法表示集合最大的特点是形象、直观，它特别适用于解决与抽象的集合（即集合由哪些元素所组成、元素具有怎样的属性不明确）有关的问题，但这通常只是作为一种解题辅助工具，一般集合的表示方法最终结果不用图示法。

用图示法表示下列集合以及它们之间的关系：

四边形平行四边形梯形菱形正方形矩形。

5、集合语言的理解与转换

集合语言是现代数学的基本语言，也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言。

将集合的三种语言之间进行相互转化，将集合语言转化为自然语言、几何语言，有助于弄清集合是由哪些元素所构成的，有助于提高分析和解决问题的能力。

解决集合问题的关键：

弄清集合是由哪些元素所构成的。

如何弄清呢？

关键在于把抽象问题具体化、形象化。

也就是把用描述法表示的集合用列举法来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，或用数轴来表示集合；

再如，当集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。

例题8：

下列命题

（1）方程的解集为；

（2）集合与的公共元素所组成的集合是；

（3）集合与集合没有公共元素。

其中真命题的个数为（）

1、用列举法表示集合为（）

2、集合另一种表示方法是（）

3、集合用描述法可表示为（）

4、用列举法可以将集合表示为（）

5、用描述法表示集合。

6、,用列举法表示集合。

7、集合另一种表示法是？

8、用描述法写出平面直角坐标系第四象限内所有点的坐标的集合,并指出集合中的所有点是否属于。