人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全精品word资料18页Word文件下载.docx
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可见,“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。
描述法格式为:
{元素|元素的特征},例如
2、常用数集及其表示方法
(1)自然数集N(又称非负整数集):
0、1、2、3、……
(2)正整数集N*或N+:
1、2、3、……
(3)整数集Z:
-2、-1、0、1、……
(4)有理数集Q:
包含分数、整数、有限小数等
(5)实数集R:
全体实数的集合
(6)空集Ф:
不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系:
属于∈,不属于
例如:
a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
4、集合与集合的关系:
子集、真子集、相等
(1)子集的概念
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如图1),记作或.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,
记作
(2)真子集的概念
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2).AB或BA.
(3)集合相等:
若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
5、重要结论
(1)传递性:
若,,则
(2)空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
6、含有个元素的集合,它的子集个数共有个;
真子集有–1个;
非空子集有–1个(即不计空集);
非空的真子集有–2个.
7、集合的运算:
交集、并集、补集
(1)一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集.记作A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
叫做A在U中的补集,记作,
注:
讨论集合的情况时,不要发遗忘了的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:
A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
9、分段函数:
在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。
如
10、求函数的定义域的原则:
(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
①分式的分母不为零;
②偶次方根的被开方数大于或等于零;
③对数的底数大于0且不等于1;
④对数的真数大于0;
⑤指数为0的底不能为零;
则
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满足,奇函数的图象关于原点对称;
(2)偶函数满足,偶函数的图象关于y轴对称;
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;
②若奇函数在原点有定义,则
③根据奇偶性可将函数分为四类:
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当时,都有,则在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
13、一元二次方程
(1)求根公式:
(2)判别式:
(3)时方程有两个不等实根;
时方程有一个实根;
时方程无实根。
(4)根与系数的关系——韦达定理:
,
14、二次函数:
一般式;
两根式
(1)顶点坐标为;
(2)对称轴方程为:
x=;
(3)当时,图象是开口向上的抛物线,在x=处取得最小值
当时,图象是开口向下的抛物线,在x=处取得最大值
(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系:
时,有两个交点;
时,有一个交点(即顶点);
时,无交点。
15、函数的零点
使的实数叫做函数的零点。
例如是函数的一个零点。
注:
函数有零点函数的图象与轴有交点方程有实根
16、函数零点的判定:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有。
那么,函数在区间内有零点,即存在。
17、分数指数幂(,且)
(1).如;
(2).如;
(3);
y
图
象
1
x
性
质
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
(4)当为奇数时,;
当为偶数时,.
18、有理指数幂的运算性质()
(1);
(2);
(3)
19、指数函数(且),其中是自变量,叫做底数,定义域是R
20、若,则叫做以为底的对数。
记作:
(,)
其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。
指数式与对数式的互化公式:
21、对数的性质
(1)零和负数没有对数,即中;
(2)1的对数等于0,即;
底数的对数等于1,即
22、常用对数:
以10为底的对数叫做常用对数,记为:
自然对数:
以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数,记为:
23、对数恒等式:
24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1);
(2);
(3)(注意公式的逆用)
25、对数的换底公式(,且,,且,).
推论①或;
②.
26、对数函数(,且):
其中,是自变量,叫做底数,定义域是
图像
性质
定义域:
(0,∞)
值域:
过定点(1,0)
增函数
减函数
取值范围
0<
x<
1时,y<
x>
1时,y>
27、指数函数与对数函数互为反函数;
它们图象关于直线对称.
28、幂函数(),其中是自变量。
要求掌握这五种情况(如下图)
29、幂函数的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间上是增函数.
(Ⅲ)当时,幂函数的图象在区间上是减函数.
必修2
30、边长为的等边三角形面积
31、柱体体积:
,锥体体积:
球表面积公式:
,球体积公式:
(上述四个公式不要求记忆)
32、四个公理:
① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④ 平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性)。
33、等角定理:
空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)
34、两条直线的位置关系:
直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面上;
(2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交)
两个平面的位置关系:
(1)两个平面平行;
(2)两个平面相交
35、直线与平面平行:
定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。
判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。
性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行:
定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。
判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
性质 ① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。
37、直线与平面垂直:
定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。
判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。
性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。
38、平面与平面垂直:
定义 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
39、三角形的五“心”
(1)为的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等
(2)为的重心(各边中线的交点).重心将中线分成2:
1的两段
(3)为的垂心(各边高的交点).
(4)为的内心(各内角平分线的交点).内心到三边的距离相等
(5)为的的旁心(各外角平分线的交点).
40、直线的斜率:
(1)过两点的直线,斜率,()
(2)已知倾斜角为的直线,斜率(
(3)曲线在点(处的切线,其斜率
41、直线位置关系:
已知两直线,则
特殊情况:
(1)当都不存在时,;
(2)当不存在而时,
42、直线的五种方程:
①点斜式(直线过点,斜率为).
②斜截式(直线在轴上的截距为,斜率为).
③两点式(直线过两点与).
④截距式(分别是直线在轴和轴上的截距,均不为0)
⑤一般式(其中A、B不同时为0);
可化为斜截式:
43、
(1)平面上两点间的距离公式:
|AB|=
(2)空间两点距离公式|AB|=
(3)点到直线的距离(点,直线:
).
44、两条平行直线与间的距离公式:
求直线的平行线,可设平行线为,求出即得。
45、求两相交直线与的交点:
解方程组
46、圆的方程:
①圆的标准方程.其中圆心为,半径为
②圆的一般方程.
其中圆心为,半径为,其中>0
47、直线与圆的位置关系
其中是圆心到直线的距离,且
(2);
(3).
48、直线与圆相交于两点,求弦AB长度的公式:
(1)
(2)(结合韦达定理使用),其中是直线的斜率
49、两个圆的位置关系:
设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
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