概率论与数理统计期末复习题及解答Word格式.docx
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6、设随机变量的概率密度为
,
求:
(1)常数;
(2);
(3)的分布函数.
7、设二维随机变量的联合概率密度为
(1)系数;
(2)的边缘概率密度;
(3)概率.
8、设二维随机变量的概率密度为
(1)的边缘概率密度,;
(2)概率;
(3)判断,是否相互独立.
9、设和是两个相互独立的随机变量,,的概率密度函数为
(1)求和的联合概率密度;
(2)求概率.
【第三章】数字特征
10、设随机变量的概率密度为
,
已知,求:
(1)的值;
(2).
11、设随机变量的概率密度为
(2)和.
12、设的联合概率分布如下:
(1)求的数学期望,,方差,.
(2)求的协方差与相
关系数.
【第四章】正态分布
13、假设某大学学生在一次概率论与数理统计统考中的考试成绩(百分制)近似服从正态分布,已知满分为100分平均成绩为75分,95分以上的人数占考生总数的2.3%.
(1)试估计本次考试的不及格率(低于60分为不及格);
(2)试估计本次考试成绩在65分至85分之间的考生人数占考生总数的比例.[已知,]
14、两台机床分别加工生产轴与轴衬.设随机变量(单位:
)表示轴的直径,随机变量(单位:
)表示轴衬的内径,已知,,显然与是独立的.如果轴
衬的内径与轴的直径之差在之间,则轴与轴衬可以配套使用.求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率.[已知]
【第五章】数理统计基本知识
15、设总体,是来自该总体的简单随机样本,求常数使
16、设总体,从该总体中抽取容量为的样本,求概率.
【第六章】参数估计
17、设总体的概率密度为
其中参数.设是取自该总体的一组简单随机样本,为样本观测值.
(1)求参数的矩估计量.
(2)求参数的最大似然估计量.
18、设总体的概率密度为
其中参数.设是取自该总体的一组简单随机样本,为样本观测值.
(1)求参数的最大似然估计量.
(2)你得到的估计量是不是参数的无偏估计,请说明理由.
【第七章】假设检验
19、矩形的宽与长之比为(黄金分割)时将给人们视觉上的和谐美感.某工艺品厂生产矩形裱画专用框架.根据该厂制定的技术标准,一批合格产品的宽与长之比必须服从均值为的正态分布.现从该厂某日生产的一批产品中随机抽取个样品,测得其宽与长之比的平均值为样本标准差为.试问在显著性水平水平上能否认为这批产品是合格品?
20、已知某种口服药存在使服用者收缩压(高压)增高的副作用.临床统计表明,在服用此药的人群中收缩压的增高值服从均值为(单位:
毫米汞柱)的正态分布.现在研制了一种新的替代药品,并对一批志愿者进行了临床试验.现从该批志愿者中随机抽取人测量收缩压增高值,计算得到样本均值,样本标准差.试问这组临床试验的样本数据能否支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论(取显著性水平).
解答部分
【解】设表示“从甲袋移往乙袋的是白球”,表示“从乙袋返还甲袋的是黑球”,表示“经此换球过程后甲袋中黑球数增加”,则
又,于是由概率乘法定理得所求概率为
=.
【解】设表示“此人第次拨号能拨通所需电话”,表示“此人拨号不超过两次而接通所需电话”,则
由概率加法定理与乘法定理得所求概率为
.
【解】设输入的是“”,输入的是“”,输出的是“”,则
,,,,
从而由全概率公式得
.
【解】设表示“该考生会解这道题”,表示“该考生选出正确答案”,则
,,,.
(1)由全概率公式得
.
(2)由贝叶斯公式得
【解】
(1)由分布函数的性质可知
由此解得.
(2)的分布函数为
于是所求概率为
(3)的概率密度为
(1)由概率密度的性质可知
由此得
(2).
(3)当时,有
;
当时,有
所以,的分布函数为
(1)由联合概率密度的性质可知
(2)当时,有
当或时,显然有
所以的边缘概率密度
(3)
(1)当时,有
于是的边缘概率密度为
(2).
(3)容易验证,故与不独立.
(2)求和的联合概率密度;
(1)由题意知,的概率密度函数为
因为和相互独立,故和的联合概率密度
(2)
又
联立方程组
解得
,.
(2)由数学期望的性质,有
(2)由数学期望公式得
由于
故利用方差计算公式得
【解】由的联合概率分布知服从分布:
,,
由分布的期望与方差公式得
由的联合概率分布知
从而
【解】由题意,可设近似服从正态分布.已知,即
由此得,于是,,从而近似有.
(1)
由此可知,本次考试的不及格率约为.
由此可知,成绩在65分至85分之间的考生人数约占考生总数的.
【解】设,由与的独立性及独立正态变量的线性组合的性质可知,
即.于是所求概率为
【解】由知,于是
又由分布的定义知
所以
比较可得.
【解】由题设,,,于是
(1),
令,即,解得参数的矩估计量为
(2)样本似然函数为
上式两边取对数得
上式两边对求导并令导数为零得
解得,从而参数的最大似然估计量为
(1)样本似然函数为
求导数得
令解得,于是参数的极大似然估计量为
(2),
于是是的无偏估计.
【解】由题意,待检验的假设为
:
;
:
.
因为未知,所以检验统计量为
关于的拒绝域为
现在,,所以统计量的观测值为
因为,即的观测值不在拒绝域内,从而接受原假设,即可以认为这批产品是合格品.
因为未知,所以取统计量
且关于的拒绝域为
因为,即的观测值在拒绝域内,从而拒绝原假设,即认为这次试验支持“新的替代药品比原药品副作用小”这一结论.
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- 概率论 数理统计 期末 复习题 解答