高中数学必修5第二章《数列》复习知识点总结与练习一资料讲解Word文档格式.docx
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递增数列
an+1>
an
其中
n∈N*
递减数列
an+1<
常数列
an+1=an
(3)数列的通项公式:
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
2.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫数列的递推公式.
1.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关,这有别于集合中元素的无序性.因此,若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列.
(2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现,这也是数列与数集的区别.
2.数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应的函数解析式,即f(n)=an(n∈N*).
3.考点
(一)由数列的前几项求数列的通项公式
[例1] (2012·
天津南开中学月考)下列公式可作为数列{an}:
1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )
A.an=1 B.an=
C.an=2-D.an=
[自主解答] 由an=2-可得a1=1,a2=2,
a3=1,a4=2,….
[答案] C
由题悟法
1.根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,观察出项与n之间的关系、规律,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想
以题试法
写出下面数列的一个通项公式.
(1)3,5,7,9,…;
(2),,,,,…;
(3)3,33,333,3333,…;
(4)-1,,-,,-,,….
解:
(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.
(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=.
(3)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,….
所以an=(10n-1).
(4)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;
各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;
而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=(-1)n·
,也可写为
an=
(二)由an与Sn的关系求通项an
已知数列{an}的前n项和Sn,求数列的通项公式,其求解过程分为三步:
(1)先利用a1=S1求出a1;
(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;
(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;
如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn,根据下列条件分别求它们的通项an.
(1)Sn=2n2+3n;
(2)Sn=3n+1.
[自主解答]
(1)由题可知,当n=1时,a1=S1=2×
12+3×
1=5,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.
当n=1时,4×
1+1=5=a1,故an=4n+1.
(2)当n=1时,a1=S1=3+1=4,
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×
3n-1.
当n=1时,2×
31-1=2≠a1,
故an=
(2012·
聊城模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,则=( )
A. B.
C.D.30
解析:
选D 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,则a5==.
(三)数列的性质
[例3] 已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20.
(1)n为何值时,an有最小值?
并求出最小值;
(2)n为何值时,该数列的前n项和最小?
[自主解答]
(1)因为an=n2-21n+20=2-,可知对称轴方程为n==10.5.又因n∈N*,故n=10或n=11时,an有最小值,其最小值为112-21×
11+20=-90.
(2)设数列的前n项和最小,则有an≤0,由n2-21n+20≤0,解得1≤n≤20,故数列{an}从第21项开始为正数,所以该数列的前19或20项和最小.
1.数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系,构造相应的函数an=f(n),利用求解函数最值的方法求解,但要注意自变量的取值.
2.前n项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和Sn,根据Sn的表达式求解最值;
(2)根据数列的通项公式,若am≥0,且am+1<
0,则Sm最大;
若am≤0,且am+1>
0,则Sm最小,这样便可直接利用各项的符号确定最值.
3.(2012·
江西七校联考)数列{an}的通项an=,则数列{an}中的最大值是( )
A.3B.19
C.D.
选C an=,由基本不等式得,≤,由于n∈N*,易知当n=9或10时,an=最大.
二.等差数列及其前n项和
一、等差数列的有关概念
1.定义:
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
2.等差中项:
数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
二、等差数列的有关公式
1.通项公式:
an=a1+(n-1)d.
2.前n项和公式:
Sn=na1+d=.
三、等差数列的性质
1.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,{an}为等差数列,则am+an=ap+aq.
2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,公差为kd.
3.若{an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等差数列,公差为n2d.
4.等差数列的增减性:
d>
0时为递增数列,且当a1<
0时前n项和Sn有最小值.d<
0时为递减数列,且当a1>
0时前n项和Sn有最大值.
5.等差数列{an}的首项是a1,公差为d.若其前n项之和可以写成Sn=An2+Bn,则A=,B=a1-,当d≠0时它表示二次函数,数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn是{an}成等差数列的充要条件.
1.与前n项和有关的三类问题
(1)知三求二:
已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思想.
(2)Sn=n2+n=An2+Bn⇒d=2A.
(3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐标不一定是最小值.
2.设元与解题的技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元,若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;
若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
考点
等差数列的判断与证明
[例1] 在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)设bn=(n∈N*),证明:
{bn}是等差数列.
[自主解答]
(1)∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且n∈N*),∴a2=2a1+22+3=1,a3=2a2+23+3=13.
(2)证明:
对于任意n∈N*,
∵bn+1-bn=-=[(an+1-2an)-3]=[(2n+1+3)-3]=1,
∴数列{bn}是首项为==0,公差为1的等差数列.
1.证明{an}为等差数列的方法:
(1)用定义证明:
an-an-1=d(d为常数,n≥2)⇔{an}为等差数列;
(2)用等差中项证明:
2an+1=an+an+2⇔{an}为等差数列;
(3)通项法:
an为n的一次函数⇔{an}为等差数列;
(4)前n项和法:
Sn=An2+Bn或Sn=.
2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”,否则n=1时,a0无定义.
1.已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,S3=6.
(1)求Sn;
数列{an}是等差数列.
(1)设Sn=An2+Bn+C(A≠0),
则
解得A=2,B=-4,C=0.故Sn=2n2-4n.
∵当n=1时,a1=S1=-2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6.
∴an=4n-6(n∈N*).an+1-an=4,
∴数列{an}是等差数列.
等差数列的基本运算
典题导入
[例2] (2012·
重庆高考)已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.
[自主解答]
(1)设数列{an}的公差为d,由题意知
解得
所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(2)由
(1)可得Sn===n(n+1).
因为a1,ak,Sk+2成等比数列,所以a=a1Sk+2.
从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0,
解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6.
1.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d及前n项和公式Sn==na1+d,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
2.
(1)在等差数列中,已知a6=10,S5=5,则S8=________.
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若-=1,则公差为________.
(1)∵a6=10,S5=5,
∴
解方程组得
则S8=8a1+28d=8×
(-5)+28×
3=44.
(2)依题意得S4=4a1+d=4a1+6d,S3=3a1+d=3a1+3d,于是有-=1,由此解得d=6,即公差为6.
答案:
(1)44
(2)6
等差数列的性质
[例3]
(1)等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前9项和S9等于( )
A.66 B.99
C.144D.297
(2)(2012·
天津模拟)设等差数列{an}的前n项和Sn,若S4=8,S8=20
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