第一章抽象群基础Word格式文档下载.docx
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系1.e是唯一的。
若e、e´
皆为G的单位元,则e·
e´
=e´
,e·
=e,故e´
=e。
系2.逆元是唯一的。
若存在f的两个逆元f´
=f"
,则
即
系3e–1=e
e–1=e-1·
e=e,即:
e–1=e。
系4若群G的运算还满足交换律,f,gG,有f·
g=g·
f,则称G为交换群,或阿贝尔群。
群是我们定义的一种抽象结构,具有一般性,它象一个空筐子,可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。
通过研究抽象结构的一般性质,就可以掌握各种实际对象的性质。
例1.1整数集{z}及其上的加法+
单位元为0,逆元z-1=-z,构成整数加法群。
例1.2实数集R,运算为加法:
单位元e=0,逆元:
aR,a–1=-a,构成加群。
若运算为数乘,R不构成群,0-1不存在。
不过不包含0的所有实数R/0,构成乘法群,单位元e=1,
逆元:
aR/0,a-1=
例1.3空间反演群{E,I},元素为对向量的变换:
运算定义为群元对向量由右到左的相继作用:
,
。
乘法表如右:
例1.4R3中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群,两个转动操作的二元运算为两操作的相继转动。
群元:
为转轴,为转角,乘法:
单位元:
e=(0)
例1.5平面正三角形对称群D3(六阶二面体群)
o为重心,固定不动,保持正三角形位形不变的所有空间转动操作,以相继操作为二元运算构成一个群。
保持正三角形不变的对称操作:
e:
不转动;
d:
绕Z轴转120度;
f:
绕Z轴转240度;
a:
绕y轴转180度;
b:
绕2轴转180度;
c:
绕3轴转180度;
D3={e,d,f,a,b,c}
例1.6置换群Sn,又称n阶对称群
将(1,2…,n)映为自身的置换P:
,…
置换只与每列的相对字符有关,与列顺序天关,如
=
P的逆元:
n个数码所有可能的置换数为n!
,其乘法:
=
则所有置换及其乘法结构成一个群,记为Sn群。
可见,群的元素可以是非常广泛的东西,可以是数、操作、变换等等,二元运算也可以有多种类型。
群可以简单分类为:
有限群:
群元个数有限,群元的个数称为群的阶,记为|G|
无限群:
群元个数无限
◆定理1.1◆(重排定理)
设,有
u的作用只是将G元素重排。
证明:
(一)u的作用是单射,(1对1),当不同时给出G中不同群元:
设,若,(即多对一)
两边左乘u-1,有,与假设矛盾
故
(二)u的作用是一个满射,即G中任意群元都可写成ug的形式:
,,记
即,使。
故u的作用是双射(一一映射),即。
类似有:
uG,Gu=G
在乘法表中,每行和每列都是群元的重排,每个群元只出现一次。
1.2子群和陪集
【定义1.2】设H是群G的一个子集,若对于与群G同样的乘法运算,H也构成一个群,则称H为G的子群,记为。
系1.的充要条件为:
(1)H,有hH
(2)H,其逆H
例1.7任何群G,都有子群{e}和G<
G。
{e},G称为显然子群或平庸子群,非平庸的子群称为真子群。
例1.8整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。
例1.9D3群的子群{e,d,f}。
【定义1.3】循环子群的形式为:
Zn={}
n为循环群的阶,循环群是阿贝尔群。
例1.10从n阶有限群G的任一元素出发,总可以生成一个G的循环子群。
,G
作,…,存在k≤n,,
则构成循环群,且。
若,则称的阶为k。
D3群的循环子群:
D3={e,d,f,a,b,c}
2阶循环子群:
{a,a2=e},{b,b2=e},{c,c2=e}
3阶循环子群:
{d,d2(=f),d3=e},{f,f2(=d),f3=e}
【定义1.4】(左陪集和右陪集)
设H是群G的子群,H<
G,gG.
子群H的左陪集:
右陪集:
当取不同的gG时,可以得到不同的陪集。
◆定理1.2◆(陪集定理)
设群H为群G的子群H<
G,则H的两个左(右)陪集或者有完全相同的元素,或者没有任何公共元素,即:
g1,g2G,则g1Hg2H=Ф,或g1H=g2H.
设左陪集g1H,g2H有一公共元素
则有
故(重排定理)
故,而
故证毕
◆定理1.3◆(拉格朗日定理)
有限群的子群的阶,等于该有限群阶的因子。
证:
G为n阶群,H为G的m阶子群,
取g1G,g1H,作陪集g1H
取g1G,g2H,g2g1H,作g2H
取giG,giH,g1H,g2H,…,gi-1H等,作giH
得陪集系列:
H={h1,h2,…,hm}=eH
g1H={g1h1,g1h2,…,g1hm},g1H,因H有单位元e。
g2H={g2h1,g1h2,…,g1hm}
由陪集定理知,这样得到的陪集序列互不相同,没有任何公共元素。
而这些陪集序列最终将穷尽群G中的所有元素(或者说G的任何群元均属于某一陪集串)。
设共有个陪集,则群G的群元个数n为:
即子群的阶m为G群阶的因子。
系1有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串(G可以其子群的陪集串展开)。
例1.11D3={e,d,f,a,b,c}的子群陪集分割。
D3的子群:
H1={e,a},H2={e,b}
H3={e,c},H4={e,d,f}
H1左陪集分割:
H1={e,a},bH1={b,f},cH1={c,d}
H4左陪集串:
H4={e,d,f},aH4={a,b,c}
1.3类与不变子群
【定义1.5】设f,h是群G的两个元素,若有元素gG,使gfg-1=h,则称元素h与f共轭。
记为h~f。
系1共轭是相互的,即若h~f,则f~h.
系2共轭的传递性,若f1~h,h~f2,则f1~f2.
f1~h,故g1,使f1=g1hg1-1,故有h=g1-1f1g1
f2~h,故g2,使f2=g2hg2-1=g2g1-1f1g1g2-1=(g2g1-1)f1(g2g1-1)-1
故f1~f2
【定义1.6】群G的所有相互共轭的元素集合,称为群G的一个类。
系1一个类被类中任意一个元素所决定,知道了类中某一个元素f,则f所属类的所有元素均可求出:
f类=
系2一个群的单位无e自成一类,gxG,gxegx-1=e,
系3阿贝尔群的每个元素自成一类,f,gxG,gxfgx-1=f
系4若元素f的阶为m,即fm=e,则f类所有元素的阶都是m,因
系5两个不同的类没有公共元素,一个群可以按共轭类进行分割(名类中元素个数可能不同)。
例1.12D3={e,d,f,a,b,c}的类分割。
D3的元素可分为3类:
e类:
{e}
d类:
{d,f}
a类:
{a,b,c}
◆定理1.4◆有限群每类元素的个数等于群阶的因子。
证明:
设G为n阶有限群,g是G的一个元素,
看g类元素的个数:
作G的子群Hg:
Hg={hG∣hgh-1=g}(即内自同构群I(G)在g点的迷向子群)
即Hg由所有与g对易的元素组成。
下面证明:
g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg
(一)若g1gg1-1=g2gg2-1,g1,g2G,g1,g2Hg
由g1gg1-1=g2gg2-1可得g2-1g1gg1-1g2=g
即(g2-1g1)g(g2-1g1)-1=g
故g2-1g1Hg由重排定理:
g2-1g1Hg=Hg
有g1g2Hg,而g2g2Hg
所以g1,g2g2Hg(g1Hg=g2Hg)
(二)若g1,g2g2Hg,则存在hHg,使g1=g2h
故g1gg1-1=g2hgh-1g2-1=g2gg2-1
即g1gg1-1=g2gg2-1g1,g2g2Hg
综上所述:
用Hg的一个左陪集仅能得到g类的一个元素,g类中元素的个数等于Hg的左陪集个数。
即:
g类元素个数=Hg左(右)陪集串个数
由拉格朗日定理,Hg的阶为G的阶的因子,故g类元素个数亦为群G阶的因子。
【定义1.7】(共轭子群)
设H和K是G的两个子群,H<
G,K<
G,若有gG,使
K=gHg–1={k=ghg–1|hH}
则称H是K的共轭子群。
系1共轭子群具有对称性(即相互性)和传递性;
系2群G的全部子群可以分割为共轭子群类。
【定义1.8】(不变子群)
设H是G的子群,若gG,hxH,有ghxg–1H,则称H为G的不变子群,
记为HG。
系1如果H包含元素hx,则它将包含hx的类。
◆定理1.5◆设H为G的不变子群HG,则gG,有gH=Hg或gHg–1=H.
hH
gh=gh(g–1g)=(ghg–1)gHg
故gHHg
又hg=(gg-1)hg=g(g–1hg)gH
故HggH
所以Hg=gH,即gHg–1=H
不变子群的左陪和右陪集相等。
例11.13整数加法群是实数加法群的不变子群,Z+R+
aR,zZ,
a+z+(-a)=zZ
实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。
◆定理1.6◆设H为G的不变子群HG,
则G的陪集串分割H,g1H,g2H…giH…中,两个陪集giH和gjH中元素的乘积必属于陪集(gigj)H,即giHgjH=(gigj)H。
有
即giHgjH=(gigj)H
由定理1.6可定义不变子群的商群。
【定义1.9】(不变子群的商群)
设HG,以分割G群的陪集串为元素,做成一个新的集合,{H,g1H,g2H,…,giH,…}并定义集合中元素的乘法规则:
giHgjH=(gigj)H,则G的不变子群H生成的陪集串构成一个群,称为不变子群H的商群,记为G/H。
例1.14D3群{e,d,f,a,b,c}的子群H4={e,d,f}是不变子群,子群H4的陪集分割为:
H4={e,d,f},aH4={a,b,c}
则商群D3/H4={H4,aH4},可以验证(aH4)2=H4,即D3/H4为二阶循环群Z2。
1.4群的同构与同态
【定义1.10】两个群G,F,若存在一个从G到F上的满映射φ:
GF,且满足:
①映射φ为双射,即G与F中的元素一一对应,φ为一一映射:
g1,g2G,g1g2φ(g1)φ(g2)
②映射φ保持群的运算结构不变:
(g1g2)=(g1)。
(g2),其中“。
”为群F的乘法
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- 第一章 抽象 基础