概率论与数理统计答案Word格式.docx
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【解】
(1)
f(x,y)dxdy0
A尹4y)dxdy121
A=12
k;
确定常数
求P{Xv1,Y<
3};
求P{X<
1.5};
求P{X+YW4}.
(1)由性质有
6.设X和丫是两个相互独立的随机变量,
(1)因X在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X的密度函数为
所以
⑵P(Y
7.设二维随机变量(
X)f(X,y)dxdy如图25e5ydxdy
yxD
X,Y)的联合分布函数为
e4x)(1e2y),
F(x,y)=(1
x0,y0,
其他.
求(X,Y)
的联合分布密度.
【解】f(x,y)
午(x,y)8e(4x2y)
xy0,
x0,y0,其他.
8.设二维随机变量(X,丫)的概率密度为
f(x,y)=4:
y(2
x),0
1,0yx,
求边缘概率密度.
【解】fx(x)f(x,y)dy
9.设二维随机变量(X,丫)的概率密度为
f(x,y)=
ey,0
y,
题10图
10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)
cxy,
y1,
(1)试确定常数C;
f(x,v)dxdy如图
D
f(x,y)dxdy
21
c一
fX(x)
f(x,y)dy
11.设随机变量(X,丫)的概率密度为
y)-
求条件概率密度fYlX(yIX),fxIY(xI
题11图
【解】fx(x)f(X,y)dy
12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为
Y.
(1)求X与丫的联合概率分布;
(2)X与丫是否相互独立?
(1)X与丫的联合分布律如下表
故X与丫不独立
(1)X和丫的边缘分布如下表
7、
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.42
0.38
(2)因P{X2}gP{丫0.4}0.20.80.160.15P(X2,丫0.4),
故X与Y不独立.
14.设X和丫是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)
ley/2
fY(y)=2'
上服从均匀分布,丫的概率密度为
y0,
题14图
(2)方程a22XaY0有实根的条件是
X2綁,
从而方程有实根的概率为:
求Z=X/Y的概率密度.
(1)当z<
0时,Fz(z)0
(2)当0<
z<
1时,(这时当x=1000时丿二1000)(如图a)z
题15图
⑶当z》l时,(这时当y=103时,x=103z)(如图b)
(1)求X和丫的联合概率密度;
16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机
地选取4只,求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4),贝yXi〜N(160,202),
从而
17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为
P{X=k}=P(k),k=0,1,2,•,
P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p(k)q(ik),i=0,1,2,•-
k0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,
于是
18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布证明Z=X+Y
服从参数为2n,P的二项分布.
【证明】方法一:
X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.
方法二:
设耳必…施小鼻‘,;
••曲均服从两点分布(参数为P),则
X=国+iJ2+-••+W,Y=卩,+•••"
+,,
X+Y二b+比+・…+w++/+•••■+'
所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.
19.设随机变量(X,丫)的分布律为
(4)求W=X+Y的分布律.
(1)P{X2|Y2}旦△一2丫一
P{Y2}
(2)P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
所以V的分布律为
(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}
(4)类似上述过程,有
设M二max{X,Y},求P{M>
0}.
题20图
(1)P{Y0|YX}P{Y0,YX}
P{YX}
的值为多少?
题21图
P{X
所以fX
(2)
r-Y
y1
y2
y3
P{X=xi}=pi
Xxr\^
X2
1/8
P{Y=yj}=P
1/6
X,丫)联合分布律及关于X和丫的边缘
【解】因P{Yyj}
Xi,Yyj},
Pj
4
22.设随机变量X和丫相互独立,下表列出了二维随机变量分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处
故P{Y%}P{X
X1,Y
X2,Y
力},
从而P{X
x1,丫y1}6
11
824.
而X与丫独立,故P{X
Xi}gP{Y
yj}P{X
Xi,Y
x1}6
24.
即:
x1}24
丄丄
64
.
又P{X
X1}P{X
y2}
即11
424
1P{X
X1Y
ys},
x-Yy3}-.
同理P{Y
y2}j,
X2,Yy2}
又P{Y
yj}1,故P{Y
y3}
yi},
X1,Yys},
同理P{Xx2}3
P
(1)在发车时有n个乘
X,丫)的概率分布.
7.
X?
>
0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为Y表示在中途下车的人数,求:
(2)二维随机变量(
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为
(0<
p<
1),且中途下车与否相互独立,以客的条件下,中途有m人下车的概率;
(2)P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}
为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
由于X和Y独立,可见
由此,得U的概率密度为
由E(X)0.2,可得
ac0.1.
P{X0,Y0}ab0.105
P{X0}ab0.5.'
得ab0.3.
解以上关于a,b,c的三个方程得
a02b0.1,c0.1.
(2)Z的可能取值为2,1,0,1,2,
P{Z2}P{X1Y1}0.2,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1,
P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3,
P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3,
P{Z2}P{X1,Y1}0.1,
即Z的概率分布为
P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.
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