高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题练习 理Word格式.docx
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若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
0,因此f(x)在(1,+∞)上单调递增.
又当x≤1时,f(x)<
0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<
-,则ln(-2a)>
1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<
当x∈(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>
0,因此f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(2)不妨设x1<
x2,由
(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以x1+x2<
2等价于f(x1)>
f(2-x2),即f(2-x2)<
0.
由于
而
所以
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),所以当x>
1时,g′(x)<
0,而g
(1)=0,故当x>
1时,g(x)<
0,从而g(x2)=f(2-x2)<
0,故x1+x2<
利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合,难度较大.
热点一 利用导数证明不等式
用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.
例1 (2015·
北京)已知函数f(x)=ln.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求证:
当x∈(0,1)时,f(x)>2;
(3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.
(1)解 因为f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
所以f′(x)=+,f′(0)=2.
又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)证明 令g(x)=f(x)-2,
则g′(x)=f′(x)-2(1+x2)=.
因为g′(x)>
0(0<
x<
1),
所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.
所以g(x)>
g(0)=0,x∈(0,1),
即当x∈(0,1)时,f(x)>
(3)解 由
(2)知,当k≤2时,f(x)>
k对x∈(0,1)恒成立.
当k>
2时,令h(x)=f(x)-k,
则h′(x)=f′(x)-k(1+x2)=.
所以当0<
时,h′(x)<
0,因此h(x)在区间上单调递减.
当0<
时,h(x)<
h(0)=0,
即f(x)<
k.
所以当k>
2时,f(x)>
k并非对x∈(0,1)恒成立.
综上可知,k的最大值为2.
思维升华 用导数证明不等式的方法
(1)利用单调性:
若f(x)在[a,b]上是增函数,则①∀x∈[a,b],则f(a)≤f(x)≤f(b),②对∀x1,x2∈[a,b],且x1<
x2,则f(x1)<
f(x2).对于减函数有类似结论.
(2)利用最值:
若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则对∀x∈D,则f(x)≤M(或f(x)≥m).
(3)证明f(x)<
g(x),可构造函数F(x)=f(x)-g(x),证明F(x)<
跟踪演练1 已知函数f(x)=alnx+1(a>
0).
(1)当x>
0时,求证:
f(x)-1≥a;
(2)在区间(1,e)上f(x)>
x恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明 设φ(x)=f(x)-1-a
=alnx-a(x>
0),
则φ′(x)=-.
令φ′(x)=0,则x=1,当0<
1时,φ′(x)<
所以φ(x)在(0,1)上单调递减;
当x>
1时,φ′(x)>
0,所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增,故φ(x)在x=1处取到极小值也是最小值,故φ(x)≥φ
(1)=0,
即f(x)-1≥a.
(2)解 由f(x)>
x得alnx+1>
x,即a>
.
令g(x)=(1<
e),则g′(x)=.
令h(x)=lnx-(1<
e),则h′(x)=->
故h(x)在区间(1,e)上单调递增,所以h(x)>
h
(1)=0.
因为h(x)>
0,所以g′(x)>
0,即g(x)在区间(1,e)上单调递增,
则g(x)<
g(e)=e-1,即<
e-1,
所以a的取值范围为[e-1,+∞).
热点二 利用导数讨论方程根的个数
方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.
例2 设函数f(x)=lnx+,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数.
解
(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+(x>
则f′(x)=(x>
∴当x∈(0,e)时,f′(x)<
0,f(x)在(0,e)上单调递减,
当x∈(e,+∞)时,f′(x)>
0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,
∴当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>
令g(x)=0,得m=-x3+x(x>
设φ(x)=-x3+x(x>
则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),
当x∈(0,1)时,φ′(x)>
0,φ(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<
0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,
∴φ(x)的最大值为φ
(1)=.
又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知
①当m>
时,函数g(x)无零点;
②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;
③当0<
m<
时,函数g(x)有两个零点;
④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.
综上所述,当m>
当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;
时,函数g(x)有两个零点.
思维升华
(1)函数y=f(x)-k的零点问题,可转化为函数y=f(x)和直线y=k的交点问题.
(2)研究函数y=f(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随x值的变化y值的变化趋势.
跟踪演练2 已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围.
解
(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),
切线的斜率k=f′
(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)g(x)=2lnx-x2+m,
则g′(x)=-2x=.
因为x∈,所以当g′(x)=0时,x=1.
当<
1时,g′(x)>
当1<
e时,g′(x)<
故g(x)在x=1处取得极大值g
(1)=m-1.
又g=m-2-,g(e)=m+2-e2,
g(e)-g=4-e2+<
则g(e)<
g,
所以g(x)在上的最小值是g(e).
g(x)在上有两个零点的条件是
解得1<
m≤2+,
所以实数m的取值范围是.
热点三 利用导数解决生活中的优化问题
生活中的实际问题受某些主要变量的制约,解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.
例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
解
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·
2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元.
所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意得200πrh+160πr2=12000π,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>
0,又由h>
0可得r<
5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),
故V′(r)=(300-12r2),
令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>
0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V′(r)<
0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模:
分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求导:
求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)求最值:
比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)作答:
回归实际问题作答.
跟踪演练3 统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升),关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
y=x3-x+8(0<
x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
解
(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),
要耗油(×
403-×
40+8)×
2.5=17.5(升).
所以,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=(x3-x+8)
=x2+-(0<
x≤120),
h′(x)=-=(0<
令h′(x)=0得x=80,
当x∈(0,80)时,h′(x)<
0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h′(x)>
0,h(x)是增函数,
当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25,
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
已知函
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