上海市高考数学试卷理科答案与解析Word格式文档下载.doc
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集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有
【分析】由题意A∩B={2},得集合B中必定含有元素2,且A,B只有一个公共元素2,可求得a即可.
由A∩B={2},
则A,B只有一个公共元素2;
可得a=2.
故填2.
【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算,属于基础题.
3.(4分)(2008•上海)若复数z满足z=i(2﹣z)(i是虚数单位),则z= 1+i .
【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】直接化简出z,然后化简表达式为a+bi(a、b∈R)即可.
由.
1+i.
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题.
4.(4分)(2008•上海)若函数f(x)的反函数为f﹣1(x)=x2(x>0),则f(4)= 2 .
【考点】反函数.菁优网版权所有
【分析】令f(4)=t⇒f﹣1(t)=4⇒t2=4(t>0)⇒t=2.
令f(4)=t
∴f﹣1(t)=4,
∴t2=4(t>0)
∴t=2.
答案:
2.
【点评】本题考查反函数的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用.
5.(4分)(2008•上海)若向量,满足且与的夹角为,则= .
【考点】平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
【分析】根据可得答案.
∵且与的夹角为
∴=7
∴则=
【点评】本题主要考查向量的数量积运算,属基础题.
6.(4分)(2008•上海)函数的最大值是
2 .
【考点】三角函数的最值;
运用诱导公式化简求值.菁优网版权所有
【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简,再由正弦函数的性质即可得到其最大值.
2
【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的性质﹣﹣最值.考查考生对正弦函数的性质的掌握和应用.三角函数式高考的一个必考点,重点在对于基础知识的考查.
7.(4分)(2008•上海)在平面直角坐标系中,从六个点:
A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
【考点】等可能事件的概率.菁优网版权所有
【分析】本题是一个古典概型.由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线;
B、C、D共线;
六个无共线的点生成三角形总数为C63;
可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33
本题是一个古典概型
由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线;
∵六个无共线的点生成三角形总数为:
C63;
可构成三角形的个数为:
C63﹣C43﹣C33=15,
∴所求概率为:
;
.
【点评】本题考查的是概率,实际上是考查排列组合问题在几何中的应用,在计算时要求做到,兼顾所有的条件,先排约束条件多的元素,做的不重不漏,注意实际问题本身的限制条件.
8.(4分)(2008•上海)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,则满足f(x)>0的x的取值范围是 (﹣1,0)∪(1,+∞) .
【考点】奇函数.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】首先画出x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx的图象,然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈(﹣∞,0)时的图象,
最后观察图象即可求解.
由题意可画出f(x)的草图
观察图象可得f(x)>0的解集是(﹣1,0)∪(1,+∞)
故答案为(﹣1,0)∪(1,+∞)
【点评】本题考查奇函数及对数函数f(x)=lgx的图象特征,同时考查数形结合的思想方法.
9.(4分)(2008•上海)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,平均数为10.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是
a=10.5,b=10.5 .
【考点】极差、方差与标准差;
众数、中位数、平均数.菁优网版权所有
【专题】综合题;
压轴题.
【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式,要求总体的方差最小,即要求(a﹣10)2+(b﹣10)2最小,利用a与b的关系式消去a,得到关于b的二次函数,求出函数的最小值即可得到a和b的值.
这10个数的中位数为=10.5.
这10个数的平均数为10.
要使总体方差最小,
即(a﹣10)2+(b﹣10)2最小.
又∵(a﹣10)2+(b﹣10)2=(21﹣b﹣10)2+(b﹣10)2
=(11﹣b)2+(b﹣10)2=2b2﹣42b+221,
∴当b=10.5时,(a﹣10)2+(b﹣10)2取得最小值.
又∵a+b=21,
∴a=10.5,b=10.5.
a=10.5,b=10.5
【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法,以及会利用函数的方法求最小值.此题是一道综合题.要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题.
10.(4分)(2008•上海)某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆,已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上,现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区的判别条件是 h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a .
【考点】椭圆的应用.菁优网版权所有
【专题】应用题;
【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|,只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可.
依题意,|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a;
h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a
【点评】本题主要考查了椭圆的应用.考查了学生运用基础知识解决实际问题的能力.
11.(4分)(2008•上海)方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标,若x4+ax﹣4=0的各个实根x1,x2,…,xk(k≤4)所对应的点(xi,)(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧,则实数a的取值范围是 (﹣∞,﹣6)∪(6,+∞) .
【考点】函数与方程的综合运用.菁优网版权所有
【专题】计算题;
压轴题;
分类讨论.
【分析】原方程等价于,分别作出左右两边函数的图象:
分a>0与a<0讨论,可得答案.
【解答】解析:
方程的根显然x≠0,原方程等价于,原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标;
而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的.若交点(xi,)(i=1,2,k)均在直线y=x的同侧,因直线y=x与交点为:
(﹣2,﹣2),(2,2);
所以结合图象可得:
【点评】华罗庚曾说过:
“数缺形时少直观,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事非.”数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.
二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分)
12.(4分)(2008•上海)组合数Cnr(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )
A. B.(n+1)(r+1)
C.nr D.
【考点】组合及组合数公式.菁优网版权所有
【分析】由组合数公式,Cnr进行运算、化简,找到其与cn﹣1r﹣1的关系,即可得答案.
由,
故选D.
【点评】本题考查组合数公式的运用,须准确记忆公式,另外如本题的一些性质需要学生了解.
13.(4分)(2008•上海)给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )条件.
A.充要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.既非充分又非必要
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有
【分析】由垂直的定义,我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题,反之,“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论.
直线与平面α内的无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面α垂直;
即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题;
但直线l与平面α垂直时,l与平面α内的每一条直线都垂直,
即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题;
故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件
故选C
【点评】判断充要条件的方法是:
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.
14.(4分)(2008•上海)若数列{an}是首项为1,公比为a﹣的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是( )
A.1 B.2 C. D.
【考点】等比数列的前n项和;
等比数列.菁优网版权所有
【分析】由无穷等比数列{an}各项和为a,则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可.
由题意知a1=1,q=a﹣,且|q|<1,
∴Sn==a,即,
解得a=2.
故选B.
【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想.
15.(4分)(2008•上海)如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x,y)、P′(x′,y′)满足x≤x′且y≥y′,则称P优于P′,如果Ω中的点Q满足:
不存在Ω中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B. C. D.
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.菁优网版权所有
【分析】P优于P′的几何意义是:
过点P′分别作平行于两坐标轴的直线,则点P落在两直线构成的左上方区域内.
依题意,在点Q组成的集合中任取一点,过该点分别作平行于两坐标轴的直线,构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素,这样点Q组成的集合才为所求.
【点评】本题考查如何把代数语言翻译成几何语言,即数与形的结合.
三、解答题(共6小题,满分90分)
16.(12分)(2008•上海)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC1的中
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- 上海市 高考 数学试卷 理科 答案 解析