1994年全国高考数学试题.doc
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一九九四年全国高考数学试题
理科试题
一.选择题:
本题共15个小题;第
(1)-(10)题每小题3分,第(11)-(15)题每小题4分.共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)极坐标方程所表示的曲线是(D)
(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆
(2)如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(D)
(A)(0,+∞)(B)(0,2)(C)(1,+∞)(D)(0,1)
(3)(B)
(A)0(B)(C)1(D)2
(4)设是第二象限的角,则必有(A)
(A)(B)(C)(D)
(5)若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a=(A)
(A)(B)(C)(D)
(6)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)。
经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(B)
(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个
(7)在下列函数中,以为周期的函数是(D)
(A)(B)
(C)(D)
(8)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为(B)
(A)(B)(C)(D)
(9)使是纯虚数的最小自然数n=(A)
(A)3(B)4(C)5(D)6
(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担。
从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(C)
(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种
(11)对于直线和平面的一个充分条件是(C)
(A)(B)
(C)(D)
(12)设函数则函数的图象
(A)Y(B)Y(C)Y1(D)Y(B)
1
11
-1OXOXO1XOX
-1-1
(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是(D)
(A)(B)(C)(D)
(14)函数的值是(B)
(A)(B)(C)(D)
(15)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果,x(-∞,+∞),那么(C)
(A)
(B)
(C)
(D)
二.填空题:
本大题共5小题;每小题3分,共15分。
把答案填在题中横线上。
(16)抛物线的准线方程是__________
答:
x=3
(17)在的展开式中,的系数是的系数与的系数的等差中项,则m=_______
答:
1
(18)若的值是_______
答:
(19)设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的距离为,AB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的体积为_______
答:
(20)在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到共n个数据。
我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量:
与其它近似值比较,与各数据的差的平方和最小。
依此规定,从推出的=_______
答:
三.解答题:
本大题共5小题;共50分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
(21)(本小题满分8分)
已知z=1+i
(Ⅰ)设求的三角形式;
(Ⅱ)如果求实数的值。
解:
(Ⅰ)由z=1+i,有
(Ⅱ)由z=1+i,有
(22)(本小题满分10分)
已知函数若,证明:
证明:
即
(23)(本小题满分10分)
如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点。
(Ⅰ)证明:
AB1∥平面DBC1;
A1A
D
C1C
F
EG
B1B
(Ⅱ)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的度数。
(Ⅰ)证明:
∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,∴四边形B1BCC1是矩形。
连结B1C交BC1于E,则B1E=EC。
连结DE,在△AB1C中,∵AD=DC,
∴DE∥AB1,又AB1平面DBC1,
DE平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1
(Ⅱ)解:
作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1。
连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影。
∵AB1⊥BC1,由(Ⅰ)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,从而EF⊥BC1,
∴∠DEF是二面角的平面角。
设AC=1,则DC=,∵△ABC是正三角形,
∴在Rt△DEF中,
取BC的中点G,∵EB=EC,∴EG⊥BC
在Rt△BEF中,EF2=BF·GF,
又BF=BC-FC=,GF=,
∴EF2=,即EF=
∴∴∠DEF=450
故二面角=450。
(24)(本小题满分10分)
已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C:
x2+y2=1,动点M到圆C的切线长等于圆C的半径与|MQ|的和。
求动点M的轨迹
Y
M
N
OQX
方程,说明它表示什么曲线,并画出草图。
解:
如图设MN切圆于N,
又圆的半径|ON|=1,
所以|OM|2=|MN|2+|ON|2=|MN|2+1,
依题意,动点M组成的集合为
P={M||MN|=|MQ|+1}
={M|}
设点M的坐标为(x,y),则
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故这个方程为所求的轨迹方程
所求方程可化为
它所表示的曲线是以点为中心,实轴在x轴上的双曲线的右支,顶点坐标为。
如图所示。
(25)(本小题满分12分)
设是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。
(Ⅰ)写出数列的前3项;
(Ⅱ)求数列的通项公式(写出推证过程)
解:
(Ⅰ)由题意,当n=1时有
故该数列的前3项为2,6,10。
(Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)猜想数列有通项公式
下面用数学归纳法给予证明
①当n=1时,因为又在(Ⅰ)中求出所以上述结论成立。
②假设n=k时结论成立,即有
由题意,有
将代入上式,得解得
由题意,有
这就是说,n=k+1时,上述结论成立。
根据①,②,上述结论对所有自然数n成立。
解法二:
由题意,有
整理得
由此得
即数列为等差数列,其中,公差d=4
文科试题
一.选择题:
本题共15个小题;第
(1)-(10)题每小题3分,第(11)-(15)题每小题4分.共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
(1)点(0,5)到直线y=2x的距离是(B)
(A)(B)(C)(D)
(2)如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(D)
(A)(0,+∞)(B)(0,2)(C)(1,+∞)(D)(0,1)
(3)(B)
(A)0(B)(C)1(D)2
(4)设是第二象限的角,则必有(A)
(A)(B)(C)(D)
(5)若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直,则a=(A)
(A)(B)(C)(D)
(6)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)。
经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(B)
(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个
(7)在下列函数中,以为周期的函数是(D)
(A)(B)
(C)(D)
(8)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为(B)
(A)(B)(C)(D)
(9)使是纯虚数的最小自然数n=(A)
(A)3(B)4(C)5(D)6
(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担。
从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(C)
(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种
(11)对于直线和平面的一个充分条件是(C)
(A)(B)
(C)(D)
(12)设函数则函数的图象
(A)Y(B)Y(C)Y1(D)Y(B)
1
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