专题18概率与统计(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点Word版含解析Word格式文档下载.doc
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厘米)和身高(单位:
厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为.已知,,.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】由已知,选C.
4.【2017山东,理8】从分别标有,,,的张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
(A)(B)(C)(D)
【解析】标有,,,的张卡片中,标奇数的有张,标偶数的有张,所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是,选C.
5.【2017课标II,理13】一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则。
【答案】1.96
【解析】由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得.
6.【2017山东,理18】
(本小题满分12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。
(II)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
【答案】
(I)(II)X的分布列为
X
1
2
3
4
P
X的数学期望是.
(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M,则
(II)由题意知X可取的值为:
.则
因此X的分布列为
X的数学期望是
=
7.【2017课标1,理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.05
经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?
剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量服从正态分布,则,
,.
(1).
(2)(i)见解析;
(ii).
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由,得的估计值为,的估计值为,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除之外的数据9.22,剩下数据的平均数为,因此的估计值为10.02.
,剔除之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为,
因此的估计值为.
8.【2017课标II,理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:
kg)某频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:
“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)
(1);
(2)见解析;
(3).
(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”,表示事件“新养殖法的箱产量不低于”
由题意知
旧养殖法的箱产量低于的频率为
故的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于的频率为
故的估计值为0.66
因此,事件A的概率估计值为
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量
62
38
34
66
由于
故有的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于的直方图面积为
,
箱产量低于的直方图面积为
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
.
9.【2017北京,理17】为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机.选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();
(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
(1)0.3
(2)见解析(3)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
所以的分布列为
故的期望.
(Ⅲ)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
10.【2017天津,理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ).
(Ⅰ)解:
随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
.
所以,随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)解:
设表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
易错起源1、古典概型和几何概型
例1、
(1)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.B.C.D.
(2)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为________.
答案
(1)C
(2)
【变式探究】
(1)已知函数f(x)=ax3-bx2+x,连续抛掷两颗骰子得到点数分别是a,b,则函数f′(x)在x=1处取得最值的概率是( )
A. B.
C. D.
(2)如图,大正方形的面积是34,四个全等直角三角形围成一个小正方形,直角三角形的较短边长为3,向大正方形内抛一枚幸运小花朵,则小花朵落在小正方形内的概率为( )
答案
(1)C
(2)B
解析
(1)f′(x)=ax2-bx+1(a,b∈N*,且1≤a≤6,1≤b≤6),其对称轴方程为x==1,即b=2a,抛掷两颗骰子得到的点数一共有{(a,b)|a,b∈N*,1≤a≤6,1≤b≤6}共36种等可能出现的情况,其中满足b=2a的有(1,2),(2,4),(3,6)共3种情况,所以其概率为P==,故选C.
(2)直角三角形的较短边长为3,则较长边长为5,所以小正方形边长为2,面积为4,所以向大正方形内抛一枚幸运小花朵时,小花朵落在小正方形内的概率为=,故选B.
【名师点睛】
(1)解答有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.
(2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性.
(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几何概型求解.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.古典概型的概率
P(A)==.
2.几何概型的概率
P(A)=.
易错起源2、相互独立事件和独立重复试验
例2、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值;
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
解
(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1-P()=1-·
p=,解得p=.
(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D.“系统A在3次相互独立的检测中发生k次故障”为事件Dk.
则D=D0+D1,且D0、D1互斥.
依题意,得P(D0)=C(1-)3,P(D1)=C(1-)2,
所以P(D)=P(D0)+P(D1)=+=.
所以系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为.
(1)把一枚骰子连续抛掷两次,记“第一次抛出的是素数点”为事件A,“第二次抛出的是合数点”为事件B,则P(B|A)等于( )
A.B.C.D.
(2)如图所示,某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处,有A→C→D→B,A→E→F→B两条路线.若该地各路段发生堵车与否是相互独立的,且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段,路段AC发生堵车事件的概率为,路段CD发生堵车的概率为).若使途中发生堵车事件的概率较小,则由A到B应选择的路线是______________.
答案
(1)D
(2)A→E→F→B
(2)路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率
P1=1-(1-)×
(1-)×
(1-)=,
路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率
P2=1-
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