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C.y2-x2=8D.x2+y2=8
设P(x,y)则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),·
=x2-4+y2=12⇒x2+y2=16.
B
3.已知函数f(x)=则f(5)=()
A.32B.16
C.D.
f(5)=f
(2)=f(-1)=.
C
4.已知m=sinx+(0<x≤),n=(x<0),则m、n之间的大小的关系是()
A.m>nB.m<n
C.m≥nD.m≤n
∵x<0,∴x2-2>-2,n<4,而x∈∴0<sinx≤1,而m=sinx+在(0,1]范围内m随sinx增长而减小,∴m≥1+=4,故m>n.
A
5.设f(x)=则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
方程f(x)=x的解的个数也就是函数y=f(x)与y=x的图象的交点个数,数形结合得解.
6.设f(x)=,则f(x)的值是()
A.B.1C.-D.∞
7.设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数,若f
(2)>1,f(3)=,则a的取值范围是()
A.(-∞,-2)∪(0,3)
B.(-2,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(3,+∞)
∵f
(2)=f(-3)=-f(3)>1,∴f(3)<-1,
∴<-1.∴<0.
由数轴标根法解得a<-2,或0<a<3,选A.
8.某车站将A、B、C、D、E五列火车停在5条不同的轨道上,其中A火车不能停在第一轨道上,B火车不能停在第二轨道上,那么五列火车在这个站上不同的停放方法的种数是()
A.12B.18C.24D.78
A火车不能停在第一轨道,B火车不能在第二轨道上,火车A、B受限,可以用间接等求解,所有停放方法种数为A55,A停在第一轨道上有A44种方法,B停在第二轨道上,也有A44种方法,A在第一轨道且B在第二轨道时有A33种方法,故符合条件的方法种数为A55-2A44+A33=78种.
9.椭圆M:
=1(a>b>0)的左、右焦点分别F1、F2,P为椭圆M上任一点,且||·
||的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中c=.则椭圆M的离心率e的取值范围是()
A.B.
C.D.
10.方程=1所表示的曲线是()
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
∴焦点在y轴上的椭圆.
11.已知函数y=-x3+ax2+b(x∈R)图象上任意两点的连线的斜率都小于1,则实数a的取值范围是()
A.(-3,3)B.(-,)
C.(-,)D.(-,)
由题意可转化为f′(x)<1(x∈R),即-3x2+2ax<1(x∈R),也就是3x2-2ax+1>1对x∈R恒成立,∴Δ=4a2-12<0,解得-<a<.
12.a、b是任意实数,记|a+b|、|a-b|、|b-1|中的最大值为M,则()
A.M≥0B.0≤M≤
C.M≥1D.M≥
二、填空题:
本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中横线上.
13.若函数f(x)=(a、b∈R)的定义域为R,则3a+b的取值为_________________.
(a+2)x2+bx-(a+2)≥0的解集为R,分两种情况:
(1)当a=-2,容易得b=0,因此3+b=-6;
(2)当a≠-2,可得a+2>0,Δ=b2+4(a+2)2<0,所以此时不可能,综上可得:
3a+b的值为-6.
-6
14.函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数,且f(-1)=a,则f(7)=_______________________.
f(7)=f(4)=f(3+1)=f
(1)=-f(-1)=-a.
-a
15.已知f(x)的定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=1,f
(1)=-,f
(2)=-,则f(2006)=___________________________.
由f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=1得:
f(x+2)=
由此推得f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(2006)=f(8×
250+6)=f(6)=4.
4
16.在等差数列{an}中,公差d=2,且a1+a2+…+a100=200,则a5+a10+a15+…+a100的值是_____________________.
a1+a2+…+a100=100a1+×
2=200,
解得:
a1=-97,a5=a1+4d=-89.公差d′=5d=10,
a5+a10+…+a100=20a5+×
10=20×
(-89)+1900=120.
120
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题10分)已知函数f(x)=cos2x+2sinx·
cosx(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(2)函数f(x)的图象可由y=2sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(2)先将y=2sinx(x∈R)的图象向左移个单位,得到y=2sinx+的图象;
再将y=2sin(x+)的图象的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,得到y=2sin(2x+)的图象.
或先将y=2sinx(x∈R)的图象的横坐标变为原来一半,纵坐标不变,得到函数y=2sin2x的图象;
再将y=2sin2x的图象向左移个单位,得到y=2sin(2x+)的图象.
18.(本小题12分)已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0),函数y=f(x)的图象在点(2,f
(2))处的切线与x轴平行.
(1)用关于m的代数式表示n;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)若x1>2,记函数y=f(x)的图象在点M(x1,f(x1))处的切线为l,设l与x轴的交点为(x2,0),证明:
x2≥3.
(1)∵f(x)=mx3+nx2,∴f′(x)=3mx2+2nx,
由已知条件得:
f′
(2)=0,∴3m+n=0,∴n=-3m.
(2)∵n=-3m,∴f(x)=mx3-3mx2
∴f′(x)=3mx2-6mx,
令f′(x)=3mx2-6mx
令f′(x)>0得3mx2-6mx>0,
当m>0时,∴x<0或x>2,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞).
当m<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,2).
综上:
当m>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2,+∞);
(3)由
(1)得:
f(x)=mx3-3mx2,
f′(x)=3mx2-6mx
l:
y-(mx31-3mx21)=(3mx21-6mx1)(x-x1),
令y=0,由m≠0,x1>2,则x2=,
即:
19.(本小题12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2,D在AC1上,F为BB1中点,且FD⊥AC1.
(1)试求的值;
(2)求二面角F-AC1-C的大小;
(3)求点C1到平面AFC的距离.
方法一:
(1)连AF,FC1,∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2,又F为BB1中点,∴Rt△ABF=Rt△C1B1F,∴AF=FC1.
又在△AFC1中,FD⊥AC1,所以D为AC1的中点,=1.
(2)取AC的中点E,连接BE及DE,易得DE与FB平行且相等,
∴四边形DEBF是平行四边行,∴FD与BE平行.
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴△ABC是正三角形,∴BE⊥AC,∴FD⊥AC.
又∵FD⊥AC1,∴FD⊥平面ACC1,所以二面角F-AC1-C的大小为90°
.
(3)运用等积法求解,AC=2,AF=CF=,可求S△ACF=2,
方法二:
取BC的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A(0,0,),B(1,0,0),C(-1,0,0),
B1(1,2,0)2C1(-1,2,0),F(1,1,0).
(2)设平面FAC1的一个法向量n1=(x1,y1,1).
综上,可得平面ACC1的一个法向量为n2=(-,0,1).
∴n1⊥n2.故二面角F-AC1-C的大小为90°
(3)设平面AFC的一个法向量为n=(x,y,1),由n
20.(本小题12分)已知定义在R的函数f(x)=ax3+bx(a,b∈R),当x=1时,f(x)取极小值-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)>5mx2-(4m2+3)x(m∈R).
(1)f′(x)=3ax2+b,∵x=1时f(x)取得极小值-2,
(2)x3-3x>5mx2-(4m2+3)x,即x(x-m)(x-4m)>0,
即m=0时,x3>0,x>0,
m>0时,x>4m,或0<x<m,
m<0时,x>0,或4m<x<m.
故当m=0时所求不等式的解集是{x|x>0},当m>0时,所求不等式的解集是{x|x>4m,或0<x<m}.
当m<0时,所求不等式的解集是{x|x>0,或4m<x<m}.
21.(本小题12分)已知函数f(x)=x3+ax2-bx+1(x∈R,a,b为实数)有极值,且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行.
(1)求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值;
若不存在,请说明理由;
(3)设a=12,f(x)的导函数为f′(x),令g(x)=-3,x∈(0,+∞),求证:
gn(x)-xn-≥2n-2(n∈N*).
(1)f′(x)=x2+2ax-b,f′
(1)=1+2a-b=1,∴b=2a,①
∵f(x)有极值,∴Δ=4a2+4b>0,∴a2+b>0,②
由①②可得a2+2a>0∴a<
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