初中辅助线专题Word格式.docx
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初中辅助线专题Word格式.docx
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5.“等积变形”:
连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形(图5);
6.“作中位线”:
连接两腰中点(图6)。
二、在解决圆的问题中
1.切线问题:
连结过切点的半径,构成直角三角形。
2.有关弦的问题:
作弦心距,想垂径定理。
3.弧上有中点:
中点连接圆心,想垂径定理。
4.圆周角问题:
过角顶点作直径,分别连接直径另一端与角两边的端点,构成两个直角三角形。
或连接圆心与圆周角一边的端点,想圆周角定理。
5.有直径:
过两端向圆上一点作弦构成直角。
6.两圆相交:
连公共弦。
7.两圆相切:
过切点引公切线。
8.弦切角问题:
(注:
6,7,8三条内容2007年华东师大版教材未编入)
三、在解其它问题中
1.给出中点或中线:
可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
2.给出角平分线:
可向角的两边作垂线。
3.给出线段垂直平分线:
可向线段两端作连接线。
4.在比例线段证明中:
常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
5.求证一线段为另一线段的2倍或一半:
可延长短线段一倍或将长线段平分为两段。
6.等腰三角形:
常作底边中线,想“三线合一”。
7.直角三角形:
作斜边上的中线,注意它等于斜边的一半。
8.求证线段相等:
可考虑构成全等三角形。
9.求证线段成比例:
可考虑构成相似三角形。
10.求证命题与题设条件无直接关联时:
要考虑作把求证命题与有关题设条件关联起来的辅助线。
例1.台湾“华航”客机失事后,祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救.接到通知后,“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°
,“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°
.已知B在A的正东方向,且相距100海里,分别求出两船到达出事地点C的距离.如图.
【观察与分析】本题是考查三角函数的应用问题,其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题。
读懂题目,弄清与方位有关的词语,是解此题的关键。
依题意知△ABC是顶角为120°
的等腰三角形,过点B作底边上的高,不难求出BC、AC的长。
解:
作BD⊥AC,依题意知∠ABC=120°
,∠BAC=30°
,
∴∠C=180°
-120°
-30°
=30°
=∠BAC,BC=AB=100海里。
在Rt△BDC中,∵∠C=30°
∴DC=BC·
Cos30°
=50.
∴AC=100.
例2.已知:
在△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,如右上图所示.
求证:
BC=AB.
【观察与分析】本题实际上是一条几何定理“直角三角形中,30°
角所对的直角边等于斜边的一半”的求证。
不难看出,只要作出△ABC关于AC的对称图形△AB′C,证明2BC=AB即可。
证明:
作出△ABC关于AC对称的△AB′C.如右下图所示。
∴AB′=AB.
又∵∠CAB=30°
,∴∠B′=∠B=∠B′AB=60°
.
∴AB=BB′=AB′
又∵△AB′C与△ABC为对称图形,B′C与BC是对应边
∴BC=B′C=BB′=AB.
例3.如图所示,在△ABC中,∠B=60°
,AB=4,BC=2.求证△ABC是直角三角形。
【观察与分析】求证△ABC是直角三角形,只要证明∠BCA=90°
即可,也就是要证明∠BCA=∠B+∠A.连接AB的中点D与顶点C,可看出△BCD是一个等边三角形,而△ADC是一个底角为30°
的等腰三角形。
取AB的中点D,连接CD.如右图所示。
∵BC=2,AB=4,∴BC=BD=AD=2.
∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠B=60°
,∴∠BCD=∠BDC=60°
∴DC=BD=DA.∴∠A=∠DCA.
又∵∠BDC是△DCA的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠DCA=60°
∴∠A=30°
∴∠BCA=180°
-∠B-∠A=180°
-60°
-30°
=90°
∴△ABC是直角三角形.
例4.如图,已知:
AD=AE,DF=EF;
△ADC≌△AEB.
连结AF
∵AD=AE,DF=EF,AF=AF
∴△ADF≌△AEF
∴∠ADC=∠AEB,
AD=AE
∠DAC=∠EAB
∴△ADC≌△AEB
例5.如图,中,,,矩形的边在线段上,、分别在、上,设为.写出矩形PQED面积与的函数关系式。
过作⊥,为垂足(如图),
∵AB=AC=5,BH=BC=3,∴由勾股定理得:
AH=4
∵DP∥AH,∴△BDP∽△BAH,
∴
∵PQ=BC-2BP=6-2x
∴y=PQ·
DP=(6-2x)·
=
例6.如图,在△ABC中,∠A=90°
P为AC边的中点,PD⊥BC,D为垂足。
BD2-CD2=AB2
【观察与分析】求证△ADC≌△AEB,已知条件中尚缺两个。
只有重构一对全等三角形,来求出所需条件。
所以应作辅助线AF.
连结BP,在Rt△BPD中,BD2=BP2-PD2①
在Rt△CDP中,CD2=PC2-PD2②
由①-②得:
BD2-CD2=BP2-PC2
∵AP=PC∴BD2-CD2=BP2-AP2
又∵∠A=90°
∴在Rt△ABP中,AB2=BP2-AP2
∴BD2-CD2=AB2
例7.某片绿地形状如图所示,其中AB⊥BC,CD⊥AD,
【观察与分析】求线段长的问题,常需要化为解直角三角形的问题。
本题只要设法构成含60°
的直角三角形再求解即可。
∠A=60°
,AB=200m,CD=100m,求AD、BC的长。
作DE⊥AB,垂足为E;
CF⊥DE,垂足为F.
∵∠A=60°
,CD⊥AD,∴CDE=60°
∴DF=CD=50m,CF=DF=50m.
∴AE=200-50,AD=2AE=400-100
例8.为了农田灌溉的需要,某乡利用一土堤修筑一条渠道,在堤中间挖出深为1.2米,下底宽为2米,坡度为1:
0.8的渠道(其横断面为等腰梯形),并把挖出来的土堆在两旁,使土堤高度比原来增加了0.6米(如图所示)求:
【观察与分析】解决渠道、堤坝、燕尾槽、燕尾等这一类问题,实质上就是解等腰梯形问题。
常分为一个矩形和两个直角三角形研究。
(1)渠面宽EF;
(2)修200米长的渠道需挖的土方数.
(1)作BG⊥EF,垂足为G,CH⊥EF,垂足为H,则BG=CH=1.2+0.6=1.8(m)
∵坡度为1:
0.8,即
∴EG=FH=BG×
0.8=1.8×
0.8=1.44(m).
∴EF=1.44×
2+2=4.88(m).
(2)用解
(1)的方法可求出AD=3.92m.
V=SABCD×
200=3.552×
200=710.4(m3).
答:
渠面宽4.88米。
修200米长的渠道需挖的土方710.4米3。
【观察与分析】求线段之间比值,常需化为相似三角形问题来解决。
延长FE、CB交于H后,不难看出△FAE≌△HBE,△FAG∽△HCG。
从CG=5AG,可知CH=5BH,从而求得DF:
FA=3。
例9.如图,平行四边形中,是的中点,是上一点,,连EG延长交于,求的值.
延长FE、CB交于H(如图)
∵AE=EB,∠FAE=∠HBE,∠FEA=∠HEB
∴△FAE≌△HBE,AF=BH
设FA=a,则HB=a
在△FAG和△HCG中,
∵三个对应角分别相等
∴△FAG∽△HCG,,得CH=5FA=5a,DA=CB=CH-BH=4a,DF=3a
∴.
例10.已知:
如图,梯形ABCD中,CD//AB,∠A=40°
,∠B=70°
.
AD=AB—DC.
【观察与分析】求证:
AD=AB—DC,就需将DC移到AB上。
作DE∥CB,只要证明AD=AE即可。
证明:
作DE∥CB(见右图)∵CD∥AB∴四边形CDEB是平行四边形,EB=DC.
∵∠A=40°
.∴∠DEA=∠B=70°
∠ADE=180°
-40°
-70°
=70°
∴∠ADE=∠BEDAD=AE
∴AD=AB-EB=AB-DC
例11.如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
【观察与分析】直观感觉四边形PQMN是一个菱形。
要证明,先得证明它是平行四边形,然后证明邻边相等。
这就需要在四边形ABCD中构造三角形,用三角形中位线定理来证明。
四边形PQMN为菱形,证明如下:
连接AC、BD,
∵PQ为△ABC的中位线,∴PQ∥AC,且PQ=
同理:
MN∥AC,且MN=,∴PQ∥MN,且PQ=MN
∴四边形PQMN为平行四边形
在△AEC和△DEB中,
AE=DE,EC=EB,∠AED=60°
=∠CEB,
即∠AEC=∠DEB.∴△AEC≌△DEB.∴AC=BD.
∴PQ=AC=BD=PN,∴□PQMN为菱形。
例12.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,CD是AB边上的高,
【观察与分析】根据比例性质知,求证AC·
BC=AE·
CD就是求证,这就需要构成相似三角形。
连接EC则一目了然。
AE是⊙O的直径.求证:
AC·
CD.
连结EC(如右下图),∴∠B=∠E.
∵AE是⊙O的直径,∴∠ACE=90°
.
∵CD是AB边上的高,∴∠CDB=90°
在△AEC与△CBD中,∠E=∠B,∠ACE=∠CDB,
∴△AEC∽△CBD.
∴,
即AC·
CD.
例13.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°
AB=2a,CD=a,BC=2,四边形BEFG是矩形,
点E、F分别在腰BC、AD上,点G在AB上.
设FG=x,矩形BEFG的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当矩形BEFG的面积等于梯形ABCD的面积的一半时,求x的值;
(3)当∠DAB=30°
时,矩形BEFG是否能成为正方形,若能,求其边长;
若不能
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