中考专题复习四边形Word下载.docx
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知识要点
1.多边形的内角和与外角和
(1)n边形内角和为;
多边形外角和为.
(2)如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加,外角和.
2.正多边形
定义:
各个角,各条边的多边形叫做正多边形.
对称性:
正多边形都是对称图形,边数为偶数的正多边形也是对称图形.
3.平行四边形
(1)定义:
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
(2)性质:
①平行四边形的对边;
②平行四边形的对角,邻角;
③平行四边形的对角线;
(3)平行四边形的对称性:
,是它的对称中心;
(4)平行四边形的面积:
;
同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积.
(5)平行四边形的判定方法
①两组对边分别的四边形是平行四边形(定义);
②两组对边分别的四边形是平行四边形;
③一组对边的四边形是平行四边形;
④对角线的四边形是平行四边形.
典例诠释
考点一多边形的内角和与外角和
例1正十边形的每个外角等于()
A.18°
B.36°
C.45°
D.60°
【答案】B
【点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数,计算即可得解.
例2如图1-11-1,在同一平面内,将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合,则∠1=°
.
图1-11-1
【答案】48
【点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求,外角和比较简单,学生应掌握),从而问题得解.
例3如图1-11-2,一个正n边形纸片被撕掉了一部分,已知它的中心角是40°
,那么n=.
图1-11-2
【答案】9
考点二平行四边形性质与判定的综合应用,四边形的计算
例4如图1-11-3,ABCD中点E是BC边的一点,将边AD延长至点F,使∠AFC=∠DEC,连接CF,DE.
(1)求证:
四边形DECF是平行四边形;
(2)若AB=13,DF=14,tanA=,求CF的长.
图1-11-3
(1)
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC.
∵∠AFC=∠DEC,∴∠AFC=∠ADE,
∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形.
(2)
【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H,
图1-11-4
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A,AB=CD=13.
∵tanA=,AB=13,∴DH=12,CH=5.
∵DF=14,∴CE=14,∴EH=9.
∴ED==15,∴CF=DE=15.
【点评】
(1)考查平行四边形的性质和判定,易知AF∥BC,结合条件∠AFC=∠DEC,可以推导出∠AFC+∠EDF=180°
(也可以用内错角和同位角),从而得到DE∥FC,问题得证,此问解答方法不唯一.
(2)将分散的条件集中到一个三角形里,如△DCF中(或△DEC中),出现了∠A的正切值,考虑要构造直角三角形,故可以过D点作BC的垂线,从而问题得解.
基础精练
1.若正多边形的一个内角是120°
,则这个正多边形的边数为()
A.8B.7C.6D.5
【答案】C
2.(2016·
东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于72°
,则这个正多边形的边数是.
【答案】5
3.如图1-11-5,AB∥DC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需补充一个条件:
.
图1-11-5
【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°
等
4.如图1-11-6,在ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC的平分线交AD于点E,则DE的长为()
图1-11-6
A.5B.4C.3D.2
【答案】D
5.如图1-11-7,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是()
图1-11-7
A.8B.9C.10D.11
6.如图1-11-8,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是()
图1-11-8
A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=OD
C.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC
7.如图1-11-9,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是()
A.7B.10C.11D.12
图1-11-9
8.如图1-11-10,在ABCD中,BC=10,sinB=,AC=BC,则ABCD的面积是.
图1-11-10
【答案】
9.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°
,则它的边数是.
【答案】7
10.如图1-11-11,边长相等的正方形、正六边形的一边重合,则∠1的度数为()
图1-11-11
A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
11.有一张直角三角形纸片,记作△ABC,其中∠B=90°
.按如图1-11-12方式剪去它的一个角(虚线部分),在剩下的四边形ADEC中,若∠1=165°
,则∠2的度数为.
图1-11-12
【答案】105°
12.在数学课上,老师提出如下问题:
已知:
如图1-11-13,线段AB,BC,求作:
平行四边形ABCD.
图1-11-13
小明的作法如下:
如图1-11-14:
(1)以点C为圆心,AB长为半径画弧;
(2)以点A为圆心,BC长为半径画弧;
(3)两弧在BC上方交于点D,连接AD,CD,四边形ABCD为所求作平行四边形.
图1-11-14
老师说:
“小明的作法正确.”
请回答:
小明的作图依据是.
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13.如图1-11-15,在ABCD中,E为BC中点,过点E作EG⊥AB于G,连接DG,延长DC,交GE的延长线于点H.已知BC=10,∠GDH=45°
,DG=.求CD的长.
图1-11-15
【解】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.
∵EG⊥AB于点G,
∴∠BGE=∠EHC=90°
在△DHG中,∠GHD=90°
,∠GDH=45°
,DG=,
∴DH=GH=8.
∵E为BC中点,BC=10,∴BE=EC=5.
∵∠BEG=∠CEH,
∴△BEG≌△CEH,
∴GE=HE=GH=4.
在△EHC中,∠H=90°
,CE=5,EH=4,
∴CH=3,∴CD=5.
14.如图1-11-16,在△ABC中,D为AB边上一点,F为AC的中点,过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E,连接AE.
四边形ADCE为平行四边形;
(2)若EF=2,∠FCD=30°
,∠AED=45°
,求DC的长.
图1-11-16
【证明】∵CE∥AB,∴∠DAF=∠ECF.
∵F为AC的中点,∴AF=CF.
在△DAF和△ECF中,
∴△DAF≌△ECF,∴AD=CE.
∵CE∥AB,∴四边形ADCE为平行四边形.
【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H.
图1-11-17
∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC,DF=EF=2,
∴∠FDC=∠AED=45°
.
在Rt△DFH中,∠DHF=90°
,DF=2,∠FDC=45°
,
∴sin∠FDC=,得FH=2,tan∠FDC==1,得DH=2.
在Rt△CFH中,∠FHC=90°
,FH=2,∠FCD=30°
,∴FC=4.
由勾股定理,得HC=2.∴DC=DH+HC=2+2.
15.在△OAB中,∠OAB=90°
,∠AOB=30°
,OB=4.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,E是OC上的一点.
(1)如图1-11-18,当点E是OC的中点时,求证:
四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图1-11-19,点F是BC上的一点,将四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,求OE的长.
图1-11-18图1-11-19
【证明】如图1-11-18,∵△OBC为等边三角形,∴OC=OB,∠COB=60°
∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.
在△OAB中,∠OAB=90°
,∵∠AOB=30°
,∴AB=OB,∠COA=90°
∴CE=AB,∠COA+∠OAB=180°
,∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.
【解】如图1-11-19,∵四边形ABCO折叠,点C与点A重合,折痕为EF,
∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.
∵OB=4,∴OC=BC=4.
∵∠AOB=30°
,∴OA=.
在Rt△OAE中,由
(1)知:
∠EOA=90°
设OE=x,∵,∴,解得x=,∴OE=.
16.有这样一个问题:
如图1-11-20,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.请探究筝形的性质与判定方法.
小南根据学习四边形的经验,对筝形的性质和判定方法进行了探究.
下面是小南的探究过程:
图1-11-20
(1)由筝形的定义可知,筝形的边的性质是:
筝形的两组邻边分别相等,关于筝形的角的性质,通过测量,折纸的方法,猜想:
筝形有一组对角相等,请将下面证明此猜想的过程补充完整.
如图1-11-20,在筝形ABCD中,AB=AD,CB=CD
求证:
.
证明:
由以上证明可得,筝形的角的性质是:
筝形有一组对角相等.
(2)连接筝形的两条对角线,探究发现筝形的另一条性质:
筝形的一条对角线平分另一条对角线.结合图形,写出筝形的其他性质(一条即可):
.
(3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一.试判断命题“一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立,如果成立,请给出证明;
如果不成立,请举出一个反例,画出图形,并加以说明.
【解】
(1)已知:
如图1-11-21,筝形ABCD中,AB=AD,CB=CD.
∠B=∠D.
图1-11-21
【证明】连接AC.如图1-11-21,
在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.
(2)筝形的其他性质:
①筝形的两条对角线互相垂直,
②筝形的一条对角线平分一组对角,
③筝形是轴对称图形,
……
(写出一条即可)
(3)不成立.反例如图1-11-22所示.
图1-11-22
在平行四边形ABCD中,AB≠AD.对角线AC,BD相交于点O,由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠ADC.AC平分BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一)
17.我们定义:
有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”
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- 中考 专题 复习 四边形