高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 理 北师大版Word格式.docx
- 文档编号:14741689
- 上传时间:2022-10-24
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:199.04KB
高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 理 北师大版Word格式.docx
《高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 理 北师大版Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 理 北师大版Word格式.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
称EX=________为随机变量X的均值或______,它反映了离散型随机变量取值的______.
(2)方差:
称DX=______为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值EX的______,其算术平方根为随机变量X的______.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=______;
(2)D(aX+b)=______(a,b为实数).
3.两点分布和二项分布的均值和方差
若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=____,DX=____.
若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则EX=____,DX=______.
若随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=______,DX=______.
4.正态分布
(1)正态曲线:
如果连续型随机变量X的概率密度函数为φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中μ,σ为参数,则称φμ,σ(x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态分布:
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,用X~N(μ,σ2)表示.
(3)正态分布的性质:
①曲线位于____轴的上方,与x轴不相交;
②曲线是单峰的,关于______对称;
③曲线在X=μ时达到峰值______;
④当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越______;
σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越______;
⑤曲线与x轴之间的面积为____.
基础自测
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),则P(ξ<3)=( ).
A.B.C.D.
2.某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( ).
A.10%B.20%C.30%D.40%
3.随机变量X的分布列如下:
-1
1
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,若EX=,则DX的值是__________.
4.某运动员投篮命中率p=0.6.
(1)求一次投篮时命中次数ξ的均值;
(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值.
思维拓展
1.离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?
提示:
虽然离散型随机变量的分布列和均值都是从整体上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.
2.样本的方差与随机变量的方差有何不同?
样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量;
而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.
3.方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系?
方差的单位是随机变量单位的平方;
标准差与随机变量本身有相同的单位.
4.参数μ,σ在正态分布中的实际意义是什么?
参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;
σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
一、离散型随机变量的均值
【例1-1】已知随机变量X的分布列为:
-2
2
m
(1)求EX;
(2)若Y=2X-3,求EY.
【例1-2】在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望.
方法提炼1.求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型分布列,可直接套用公式EX=x1p1+x2p2+…+xnpn求其均值.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,只要找准随机变量及相应的概率即可计算.
2.若X是随机变量,且Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量且EY=aEX+b.
请做[针对训练]2
二、离散型随机变量的方差
【例2-1】袋中有20个大小相同的球,其中标号为0号的有10个,标号为n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、期望和方差;
(2)若η=aX+b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.
【例2-2】有甲、乙两种品牌的手表,它们日走时误差分别为X,Y(单位:
s),其分布列如下:
0.1
0.8
Y
0.2
0.4
试比较这两种品牌手表的质量.
方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化,方差大,说明随机变量取值较分散;
方差小,说明取值较集中.
请做[针对训练]3
三、二项分布的均值与方差
【例3-1】某人投弹命中目标的概率p=0.8.
(1)求投弹一次,命中次数X的均值和方差;
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差.
【例3-2】为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望Eξ=3,标准差为.
(1)求n,p的值并写出ξ的分布列;
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.
方法提炼1.若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p);
2.若X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).
请做[针对训练]4
四、正态分布及其应用
【例4-1】已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=( ).
A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84
【例4-2】已知三个正态分布密度函数φi(x)=(x∈R,i=1,2,3)的图像如图所示,则( ).
A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3
方法提炼1.若连续型随机变量ξ服从正态分布,即ξ~N(μ,σ2),则Eξ=μ,Dξ=σ2,这儿μ,σ的意义是期望和标准差.μ在正态分布曲线中确定曲线的位置,而σ确定曲线的形状.如果给出两条正态分布曲线,我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的μ和σ的大小关系.
2.正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.正态曲线与x轴之间面积为1.
请做[针对训练]1
考情分析
离散型随机变量的分布列、期望与方差是高考数学中的热点、重点内容之一,题型以解答题为主,有时也以选择题或填空题的形式出现,难度适中.确定离散型随机变量的取值,找准其适用的概率模型,求出随机变量的分布列是正确求得其期望与方差的关键.
对正态分布曲线的性质考查最多的是其对称性,即正态分布曲线关于x=μ对称,也可以推广到P(ξ<μ-μ0)=P(ξ>μ+μ0).
针对训练
1.设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示,则有( ).
A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2
2.(xx上海高考,理9)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
x
3
P(ξ=x)
?
!
请小牛同学计算ξ的数学期望,尽管“!
”处无法完全看清,且两个“?
”处字迹模糊,但能肯定这两个“?
”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案Eξ=______.
3.袋中有同样的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量ξ为此时已摸球的次数,求:
(1)随机变量ξ的概率分布;
(2)随机变量ξ的数学期望与方差.
4.在一次数学考试中,第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只需在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为.
(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率;
(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ,求ξ的概率分布列及数学期望.
参考答案
基础梳理自测
1.
(1)x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 数学期望 平均水平
(2) 平均偏离程度 标准差
2.
(1)aEX+b
(2)a2DX
3.p p(1-p) np np(1-p) n ·
4.(3)x x=μ 集中 分散 1
1.D 解析:
ξ服从正态分布N(3,σ2),曲线关于x=3对称,P(ξ<3)=.
2.D 解析:
由题意可知,120分以上的人数也占10%,故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为=40%.
3. 解析:
∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,又∵a+b+c=1,
EX=-1×
a+1×
c=c-a=.
所以a=,b=,c=,∴DX=×
+×
=.
4.解:
(1)投篮一次,命中次数ξ的分布列为
ξ
0.6
则Eξ=p=0.6.
(2)由题意,重复5次投篮,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).则Eη=np=5×
0.6=3.
考点探究突破
【例1-1】解:
(1)由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=,
∴EX=(-2)×
+(-1)×
+0×
+1×
+2×
=-.
(2)方法一:
由公式E(aX+b)=aEX+b,得EY=E(2X-3)=2EX-3=2×
-3=-.
方法二:
由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下:
-7
-5
-3
∴EY=(-7)×
+(-5)×
+(-3)×
【例1-2】解:
从10件产品中任取3件共有C种结果.从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为,其中k=0,1,2,3.
∴P(X=k)=,k=0,1,2,3.
∴随机变量X的分布列是
∴EX=0×
+3×
【例2-1】解:
(1)X的分布列是
4
+4×
=1.5,
DX=(0-1.5)2×
+(1-1.5)2×
+(2-1.5)2×
+(3-1.5)2×
+(4-1.5)2×
=2.75.
(2)由Dη=a2DX,得a2×
2.75=11,即a=±
2.又Eη=aEX+b,
当a=2时,由1=2×
1.5+b,得b=-2;
当a=-2时,由1=-2×
1.5+b,得b=4.
∴或
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学总复习 第十章105 离散型随机变量的均值与方差正态分布教案 北师大版 高考 数学 复习 第十 105 离散 随机变量 均值 方差 正态分布 教案 北师大
链接地址:https://www.bdocx.com/doc/14741689.html