高考天津文科数学试题及答案word解析版Word文件下载.docx
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【解析】解法一:
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分),由得,
平移直线,由图像可知当直线过点时,的
截距最大,此时最大.由,解得,即,代入目
标函数得,即目标函数的的最大值为9,故选C.
解法二:
,当时取得最大值9,故选C.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
(3)
【2015年天津,文3】阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为()
(A)2(B)3(C)4(D)5
【解析】由程序框图可知:
,故选C.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的,的值是解题的关键,
属于基础题.
(4)
【2015年天津,文4】设,则“”是“”的()
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,则“”是“”的充分不必要条件,
故选A.
【点评】本题考查了简单的不等式的求解,充分必要条件的定义,属于容易题.
(5)
【2015年天津,文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线,与圆相切得:
,由,由此可解得,所以双曲线方程为,故选D.
【点评】本题考查点到直线的距离公式,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,求出的值,是解题的关键.
(6)
【2015年天津,文6】如图,在圆中,是弦的三等分点,弦分别
经过点.若,则线段的长为()
(A) (B)(C)(D)
【解析】由相交弦定理可知,,又因为是弦的三等分点,所以,,所以,故选A.
【点评】本题考查相交弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.
(7)
【2015年天津,文7】已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为()
(A)(B)(C)(D)
【解析】因为函数为偶函数,所以,即,所以
,
,所以,故选B.
【点评】本题考查了对数函数的性质,函数的奇偶性,单调性,计算能力,属于中档题.
(8)
【2015年天津,文8】已知函数函数,若函数的零点个数是()
(A)2(B)3(C)4(D)5
当时,,此时方程的小于0的零点为,
当时,,无零点,当时,
,方程大于2零点有一个,故
选A.
解法二:
,,由,得:
,设,若,则,,则;
若,则,,则;
若,,,则.
即,故函数的零点个数为2个,故选A.
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.
第II卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)
【2015年天津,文9】是虚数单位,计算的结果为.
【答案】
【解析】.
【点评】本题考查复数的乘除运算,基本知识的考查.
(10)
【2015年天津,文10】一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为.
【解析】由三视图可知,该几何体是中间为一个底面半径为1,高为2的圆柱,两端是
底面半径为1,高为1的圆锥,所以该几何体的体积.
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目.
(11)
【2015年天津,文11】已知函数,其中为实数,为的导函数,若,则的值为.
【解析】因为,所以.
【点评】本题考查了求导公式的运用;
熟练掌握求导公式是关键.
(12)
【2015年天津,文12】已知则当的值为时取得最大值.
【答案】4
【解析】,当时取等号,结合,
,可得
【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件,属于中档题.
(13)
【2015年天津,文13】在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.
因为,,,
,,
当且仅当即时的最小值为.
在等腰梯形ABCD中,由,,,,得,,
所以
.
【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;
关键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值.
(14)
【2015年天津,文14】已知函数若函数在区间内单调递
增,且函数的图像关于直线对称,则的值为.
【解析】由在区间内单调递增,且的图像关于直线对称,可得,且
,所以.
【点评】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的图象和性质,正确确定的值是解题的关键,属于中档题.
三、解答题:
本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)
【2015年天津,文15】
(本小题满分13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
(Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为,从这6名运动员中随机抽取2名参加双
打比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设A为事件“编号为的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A发生的概率.
解:
(Ⅰ)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2;
(Ⅱ)(i)从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为,,,,,,,,,,,,,,,共15种.
(ii)编号为的两名运动员至少有一人被抽到的结果为,,,,,,,,,共9种,所以事件A发生的概率
【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题.
(16)
【2015年天津,文16】
(本小题满分13分)中,内角所对的边分别为,已知的面积为,,.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
(Ⅰ)中,由,得,由,得,又由,解得
由,可得.
(Ⅱ).
【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,余弦定理的应用,考查计算能力.
(17)
【2015年天津,文17】
(本小题满分13分)如图,已知平面,,,,,点,分别是,的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的大小.
(Ⅰ)证明:
如图,连接,在△中,因为和分别是,的中点,所以,
又因为平面,所以平面.
(Ⅱ)因为,为中点,所以,因为平面,,所以
平面,从而,又,所以平面,又因为平面,
所以平面平面.
(Ⅲ)取中点和中点,连接,,因为和分别为和中点,所以
,,故,,所以,.又因为
平面,所以,因为,,所以,,
又由,有,在中,可得.在中,
,因此,所以直线与平面所成角为.
【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题.
(18)
【2015年天津,文18】
(本小题满分13分)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(Ⅰ)设的公比为,的公差为d,由题意,由已知,有,消去得,
解得,所以的通项公式为,的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有,设的前项和为,则
,
两式相减得,所以.
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和,考查数列求和的基本方法和运算求解能力,是中档题.
(19)
【2015年天津,文19】
(本小题满分14分)已知椭圆的上顶点为,左焦点为,离心率为.
(Ⅰ)求直线的斜率;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于点(异于点),故点且垂直于的直线与椭圆交于点(异于点)直线与轴交于点,.
(i)求的值;
(ii)若,求椭圆的方程.
(Ⅰ),由已知及,可得,
又因为,故直线的斜率.
(Ⅱ)设点,
(i)由(Ⅰ)可得椭圆方程为,直线的方程为,两方程联立消去得:
,解得.因为,所以直线,方程为,与椭圆方程联立消去得,解得.又因为,及得.
(ii)由(i)得,所以,即,又因为,所以=.又因为,
所以,因此,,
所以椭圆方程为.
【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力,属于中档题.
(20)
【2015年天津,文20】
(本题满分14分)已知函数
(Ⅰ)求的单调性;
(Ⅱ)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:
对于任意的
正实数,都有;
(Ⅲ)若关于的方程(为实数)有两个正实根,求证:
(Ⅰ)由,可得,当,即时,函数单调递增;
当,
即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(Ⅱ)设,则,,曲线在点处的切线方程为,
,令,,则.
由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当
时,,所以当时,,所以在单调递增,在
单调递减,所以对任意的实数,,对于任意的正实数,都有.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,设方程的根为,可得.因为在单调递减.又由(Ⅱ)知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为,可得,对于任意的,有,即.设方程的根为,可得.因为在单调递增,.因此,所以.
【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识.考查函数思想、化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力,是压轴题.
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