三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第三章 导数及其应.docx
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三年高考两年模拟高考数学专题汇编第三章导数及其应
A组三年高考真题(2016~2014年)
1.(2015·福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( )
A.f<B.f>C.f<D.f>
2.(2015·陕西,12)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )
A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上
3.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)
4.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
5.(2014·新课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足x+[f(x0)]2 A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 6.(2014·辽宁,11)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3] 7.(2016·全国Ⅱ,21) (1)讨论函数f(x)=ex的单调性,并证明当x>0时,(x-2)ex+x+2>0; (2)证明: 当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域. 8.(2016·全国Ⅲ,21)设函数f(x)=acos2x+(a-1)·(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为4. (1)求f′(x); (2)求A; (3)证明|f′(x)|≤2A. 9.(2016·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明: x1+x2<2. 10.(2016·北京,18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f (2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间. 11.(2016·四川,21)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 12.(2016·山东,20)已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立. 13.(2015·新课标全国Ⅱ,21)设函数f(x)=emx+x2-mx. (1)证明: f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (2)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围. 14.(2015·北京,18)已知函数f(x)=ln. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求证: 当x∈(0,1)时,f(x)>2; (3)设实数k使得f(x)>k对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值. 15.(2015·四川,21)已知函数f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性; (2)证明: 存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解. 16.(2015·天津,20)已知函数f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N*,n≥2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证: 对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x); (3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证: |x2-x1|<+2. 17.(2015·江苏,19)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性; (2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值. 18.(2015·重庆,20)设函数f(x)=(a∈R). (1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围. 19.(2015·新课标全国Ⅰ,21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx. (1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线; (2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数. 20.(2015·安徽,21)设函数f(x)=x2-ax+b. (1)讨论函数f(sinx)在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (2)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值D; (3)在 (2)中,取a0=b0=0,求z=b-满足D≤1时的最大值. 21.(2015·广东,19)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex-a. (1)求f(x)的单调区间; (2)证明: f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点; (3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点),证明: m≤-1. 22.(2015·山东,21)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由; (2)若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围. 23.(2015·湖南,21)已知a>0,函数f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点,证明: (1)数列{f(xn)}是等比数列; (2)若a≥,则对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立. 24.(2015·福建,20)已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=kx(k∈R). (1)证明: 当x>0时,f(x)<x; (2)证明: 当k<1时,存在x0>0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)>g(x); (3)确定k的所有可能取值,使得存在t>0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)-g(x)|<x2. 25.(2014·广东,21)设函数f(x)=,其中k<-2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示); (2)讨论函数f(x)在D上的单调性; (3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f (1)的x的集合(用区间表示). 26.(2014·山东,20)设函数f(x)=-k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数). (1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围. 27.(2014·新课标全国Ⅰ,21)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明: f(x)>1. 28.(2014·北京,18)已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈. (1)求证: f(x)≤0; (2)若a< 29.(2014·江西,18)已知函数f(x)=(x2+bx+b)(b∈R). (1)当b=4时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在区间(0,)上单调递增,求b的取值范围. 30.(2014·辽宁,21)已知函数f(x)=(cosx-x)(π+2x)-(sinx+1),g(x)=3(x-π)cosx-4(1+sinx)ln. 证明: (1)存在唯一x0∈,使f(x0)=0; (2)存在唯一x1∈,使g(x1)=0,且对 (1)中的x0,有x0+x1<π. B组两年模拟精选(2016~2015年) 1.(2016·河北邯郸模拟)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A.3B.4C.5D.6 2.(2016·北京重点中学模拟)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( ) A.B.C.D. 3.(2016·江苏南京模拟)函数f(x)的导函数为f′(x),对∀x∈R,都有2f′(x)>f(x)成立,若f(ln4)=2,则不等式f(x)>e的解集是( ) A.(ln4,+∞)B.(0,ln4)C.(1,+∞)D.(0,1) 4.(2015·江西新余模拟)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ) A. B.(1,2)C. D.(2,3) 5.(2015·北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性大于1,则商品价格P的取值范围是________. 6.(2015·湛江质检)已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0). (1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (2)当a取 (1)中的最小值时,求证: g(x)-f(x)≤x3. 7.(2015·浙江余杭模拟)已知函数f(x)=,x∈[0,1]. (1)求f(x)的单调区间和值域; (2)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范围. 答案精析 A组三年高考真题(2016~2014年) 1.C[∵导函数f′(x)满足f′(x)>k>1,∴f′(x)-k>0,k-1>0,>0, 可构造函数g(x)=f(x)-kx,可得g′(x)>0,故g(x)在R上为增函数, ∵f(0)=-1,∴g(0)=-1,∴g>g(0), ∴f->-1,∴f>,∴选项C错误,故选C.] 2.A [A正确等价于a-b+c=0,① B正确等价于b=-2a,② C正确等价于=3,③ D正确等价于4a+2b+c=8.④ 下面分情况验证, 若A错,由②、③、④组成的方程组的解为符合题意; 若B错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解; 若C错,由①、②、④组成方程组,经
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