特征函数CharacteristicFunction地性质Word格式文档下载.docx
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4.若X的l阶矩存在,则
.
注意求导和期望可交换的条件.
可利用特征函数求随机变量的各阶矩.
5.特征函数具有一致连续性.
取则对任意实数t,和有
所以,特征函数是一致连续的.
引理:
狄利克雷积分
证明:
以下证明.
。
Th4.1.3(逆转定理)
设F(x)和分别为随机变量X的分布函数和特征函数,则对F的任意两个连续点x1<
x2,有
记’则
不妨设x1<
x2,则
若x1和x2是F(x)的连续点,则定理得证.
Th(唯一性定理)分布函数有特征函数唯一确定。
将分布函数的连续点集记为,设是的特征函数.当时,由反演公式
令在中趋于,则有对,由唯一确定。
当时,可令在中单调减的趋于,由的右连续性可知,由唯一确定。
Th.若特征函数绝对可积,即
则其对应的分布函数为连续型,且密度函数为
对,令,根据反演公式有
由定理条件可知,单调减的趋于0,而根据的右连续性可知,故有
亦即处处连续。
对,根据反演公式得
令得到
;
所以,
二.多元特征函数
若n维随机变量的分布函数为,则定义其特征函数为
其中,也称为是随机向量的联合特征函数.
Th1.由随机向量的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如
性质:
反演公式
Th2.随机变量X和Y相互独立的充要条件为
三.n元正态分布
随机向量定义
1.设则其联合密度为
EX=0,cov(X)=In
密度函数又可写成
称之为标准n元正态分布。
Def如果A是阶非奇异阵,是n维实向量,而随机变量X服从n元标准正态分布,则将随机变量
所服从的分布成为n元正态分布.
易证:
.记用记号
表示Y服从参数是的正态分布.
TH,n元正态分布的概率密度为
Th.n元正态分布的特征函数为
首先,对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为
根据多元正态分布的定义,存在矩阵A,使得,故所求特征函数为
Th.元正态分布的任一维的边缘分布都是元正态分布,其中.
证明:
的特征
函数可以通过在X的特征函数中令得到.
又根据,得到
另外,还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.
Th设,则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.
必要性是显然的.下证充分性.
若两两互不相关,则即
,所以
由多元特征函数的性质可知相互独立.
Th对于n维正态随机向量,对作相应的分块
则
且
Th多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分布.,则
推论:
Th
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- 特征 函数 CharacteristicFunction 性质