椭圆的标准方程及其几何性质Word文档格式.docx
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当时,点在椭圆外;
当时,点在椭圆;
当时,点在椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交;
直线与椭圆相切;
直线与椭圆相离
例题分析:
题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离
之和等于10;
⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过(,)
(3)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0).
(4)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
(5)焦点在轴上,与轴的一个交点为P(0,-10),P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解:
(1)因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为
所以所求椭圆标准方程为
2因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知,
+
又
所以所求标准方程为
另法:
∵
∴可设所求方程,后将点(,)的坐标代入可求出,从而求出椭圆方程
(3)∵椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:
∵,2c=6.
∴
∴所求椭圆的方程为:
.
(4)∵椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
∴所求椭圆方程为:
(5)∵椭圆的焦点在轴上,所以可设它的标准方程为:
∵P(0,-10)在椭圆上,∴=10.
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2,
∴-c-(-10)=2,故c=8.
∴.
∴所求椭圆的标准方程是.
题2。
已知B,C是两个定点,|BC|=6,且的周长等于16,求顶点A的轨迹方程
以BC所在直线为轴,BC中垂线为轴建立直角坐标系,设顶点,根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得
所以顶点A的轨迹方程为
(≠0)(特别强调检验)
因为A为△ABC的顶点,故点A不在轴上,所以方程中要注明≠0的条件
题3。
在△ABC中,BC=24,AC、AB的两条中线之和为39,求△ABC的重心轨迹方程.
分析:
以BC所在直线为轴,BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,M为重心,则|MB|+|MC|=×
39=26.
根据椭圆定义可知,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,故所求椭圆方程为(≠0)
题4。
已知轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆上的动点,求AQ中点M的轨迹方程
设动点的坐标为,则的坐标为
因为点为椭圆上的点,
所以有,即
所以点的轨迹方程是
题5。
长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动,点M分AB的比为,求点M的轨迹方程
设动点的坐标为,则的坐标为的坐标为
因为,
题6。
已知定圆,动圆M和已知圆切且过点P(-3,0),求圆心M的轨迹及其方程
分析:
由两圆切,圆心距等于半径之差的绝对值根据图形,用数学符号表示此结论:
上式可以变形为,又因为,所以圆心M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆
解已知圆可化为:
圆心Q(3,0),,所以P在定圆设动圆圆心为,则为半径又圆M和圆Q切,所以,
即,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中点为原点,所以,,故动圆圆心M的轨迹方程是:
题7。
△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),另两边AB、AC的斜率的乘积是-,求顶点A的轨迹方程.
选题意图:
巩固求曲线方程的一般方法,建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思,训练根据条件对一些点进行取舍.
设顶点A的坐标为.
依题意得,
∴顶点A的轨迹方程为.
说明:
方程对应的椭圆与轴有两个交点,而此两交点为(0,-6)与(0,6)应舍去.
题8.P为椭圆上的点,且P与的连线互相垂直,求P
由题意,得=64,
P的坐标为,,,
题9.椭圆上不同三点与焦点F(4,0)的距离成等差数列,求证
证明:
由题意,得=2
题10.设P是以0为中心的椭圆上任意一点,为右焦点,求证:
以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆切
设椭圆方程为,(),
焦半径是圆的直径,
则由知,两圆半径之差等于圆心距,
所以,以线段为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆切
题11。
已知椭圆的焦点是,P为椭圆上一点,且||是||和||的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点P在第三象限,且∠=120°
,求.
综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.
(1)由题设||+||=2||=4
∴,2c=2,∴b=
∴椭圆的方程为.
(2)设∠,则∠=60°
-θ
由正弦定理得:
由等比定理得:
整理得:
故
题12.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆相交于点P和点Q,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆方程.
设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>
0,n>
0),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),解方程组
y=x+1,
mx2+ny2=1.
消去y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0.
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>
0,即m+n-mn>
0,OP⊥OQx1x2+y1y2=0,
即x1x2+(x1+1)(x2+1)=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴-+1=0.
m+n=2.①
由弦长公式得2·
=()2,将m+n=2代入,得m·
n=.②
m=,m=,
n=n=.
∴椭圆方程为+y2=1或x2+=1..
题13.直线l过点M(1,1),与椭圆+=1相交于A、B两点,若AB的中点为M,试求直线l的方程.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),
则+=1,①
+=1.②
①-②,得
+=0.
∴=-·
又∵M为AB中点,
∴x1+x2=2,y1+y2=2.
∴直线l的斜率为-.
∴直线l的方程为y-1=-(x-1),
即3x+4y-7=0.
题14。
已知椭圆的中心为坐标原点,一个长轴端点为,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且.
(1)求椭圆方程;
(2)求m的取值围.
【解题思路】通过,沟通A、B两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式
[解析]
(1)由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆,可设
由条件知且,又有,解得
故椭圆的离心率为,其标准方程为:
(2)设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
Δ=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>
0(*)
x1+x2=,x1x2=
∵=3∴-x1=3x2∴
消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=时,上式不成立;
m2≠时,k2=,
因λ=3∴k≠0∴k2=>
0,∴-1<
m<
-或<
1
容易验证k2>
2m2-2成立,所以(*)成立
即所求m的取值围为(-1,-)∪(,1)
题15。
设x、y∈R,i、j为直角坐标平面x、y轴正方向上的单位向量,若向量a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程.
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点,设=+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?
若存在,求出直线l的方程;
若不存在,试说明理由.
(1)解法一:
∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,
∴点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为8.
∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆,方程为+=1.
解法二:
由题知,+=8,
移项,得=8-,
两边平方,得
x2+(y+2)2=x2+(y-2)2-16+64,
整理,得2=8-y,
两边平方,得4[x2+(y-2)2]=(8-y)2,
展开,整理得+=1.
(2)∵l过y轴上的点(0,3),
若直线l是y轴,则A、B两点是椭圆的顶点.
∵=+=0,
∴P与O重合,与四边形OAPB是矩形矛盾.
∴直线l的斜率存在.设l方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
y=kx+3,
+=1,
(-21)>0恒成立,且x1+x2=-,x1x2=-.
∵=+,∴四边形OAPB是平行四边形.若存在直线l,使得四边形OAPB是矩形,则OA⊥OB,即·
=0.
∵=(x1,y1),=(x2,y2),
∴·
=x1x2+y1y2=0,
即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0,
即(1+k2)·
(-)+3k·
(-)+9=0,即k2=,得k=±
∴存在直线l:
y=±
x+3,使得四边形OAPB是矩形.
椭圆作业
班级:
______________:
____________
题16。
选择题
1.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF2的周长为
A.8B.16C.25D.32
解析:
利用椭圆的定义易知B正确.
答案:
B
2.椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则||等于
A.B.C.D.4
解法一:
(如下图)设椭圆的右焦点为F1,左焦点为F2,过F1垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限的交点为P.
∵+y2=1,∴a=2,b=1,c=.
∴F1(,0).设P(,yP)代入+y2=1,得yP=,
∴P(,),|PF1|=.
又∵|PF2|+|PF1|=2a=4,
∴|PF2|=4-|PF1|=4-=.
3.设F1、F2为椭圆的两个焦点,以F2为圆心作圆F2,已知圆F2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M点,若直线MF1恰与圆F2相切,则该椭圆的离心率e为
A.-1B.2-C.D.
易知圆F2的半径为c,(2a-c)2+c2=4c2,()2+2()-2=0,=-1.
A
4.已知为椭圆上的一点,分别为圆和圆上的点,则的最小值为()
A.5B.7C.13D.15
[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点,,的最小值为10-1-2=7
5.椭圆有这样的光学性质:
从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计),从点A沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是
A.4aB.2(a-c)C.2(a+c)D.以上答案均有可能
[解析]按小球的运行路径分三种情况:
(1),此时小球经过的路程为2(a-c);
(2),此时小球经过的路程为2(a+c);
(3)此时小球经过的路程为4a,故选D
题17、填空题
1.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A
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- 椭圆 标准 方程 及其 几何 性质