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pqp→qqpq→p(p→q)→(q→p)
0011111
0110111
1001001
1110011
所以公式类型为永真式//最后一列全为1
(5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1
(6)公式类型为永真式(方法如上例)//
第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.
(1)(p∧q→q)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)
(3)(p∨q)→(p∧r)
(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式
(3)Pqrp∨qp∧r(p∨q)→(p∧r)
000001
001001
010100
011100
100100
101111
110100
111111
所以公式类型为可满足式
4.用等值演算法证明下面等值式:
(2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r))
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q)∧(p∧q)
证明
(2)(p→q)∧(p→r)
(p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
(4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q))∧(q∨(p∧q)
(p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)
1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1
(p∨q)∧(p∧q)
5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值
(1)(p→q)→(q∨p)
(2)(p→q)∧q∧r
(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
解:
(1)主析取范式
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)
(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)
(pq)(pq)(pq)
∑(0,2,3)
主合取范式:
(p→q)→(qp)
(pq)(qp)
(p(qp))(q(qp))
1(pq)
(pq)M1
∏
(1)
(2)主合取范式为:
(p→q)qr(pq)qr
(pq)qr0
所以该式为矛盾式.
主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)
矛盾式的主析取范式为0
(3)主合取范式为:
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))→(pqr)
(p(qr))(pqr)
(p(pqr))((qr))(pqr))
11
1
所以该式为永真式.
永真式的主合取范式为1
主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)
第三章部分课后习题参考答案
14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(2)前提:
pq,(qr),r
结论:
p
(4)前提:
qp,qs,st,tr
pq
证明:
(2)
①(qr)前提引入
②qr①置换
③qr②蕴含等值式
④r前提引入
⑤q③④拒取式
⑥pq前提引入
⑦¬p⑤⑥拒取式
证明(4):
①tr前提引入
②t①化简律
③qs前提引入
④st前提引入
⑤qt③④等价三段论
⑥(qt)(tq)
⑤置换
⑦(qt)⑥化简
⑧q②⑥假言推理
⑨qp前提引入
⑩p⑧⑨假言推理
(11)pq⑧⑩合取
15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:
(1)前提:
p(qr),sp,q
sr
证明
①s附加前提引入
②sp前提引入
③p①②假言推理
④p(qr)前提引入
⑤qr③④假言推理
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:
(1)前提:
pq,rq,rs
结论:
①p结论的否定引入
②p﹁q前提引入
③﹁q①②假言推理
④¬rq前提引入
⑤¬r④化简律
⑥r¬s前提引入
⑦r⑥化简律
⑧r﹁r⑤⑦合取
由于最后一步r﹁r是矛盾式,所以推理正确.
第四章部分课后习题参考答案
3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1)对于任意x,均有2=(x+)(x).
(2)存在x,使得x+5=9.
其中(a)个体域为自然数集合.
(b)个体域为实数集合.
F(x):
2=(x+)(x).
G(x):
x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为,在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。
(2)在两个个体域中都解释为,在(a)(b)中均为真命题。
4.在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(1)没有不能表示成分数的有理数.
(2)在北京卖菜的人不全是外地人.
解:
(1)F(x):
x能表示成分数
H(x):
x是有理数
命题符号化为:
(2)F(x):
x是北京卖菜的人
x是外地人
5.在一阶逻辑将下列命题符号化:
(1)火车都比轮船快.
(3)不存在比所有火车都快的汽车.
x是火车;
x是轮船;
H(x,y):
x比y快
(2)
(1)F(x):
x是汽车;
9.给定解释I如下:
(a)个体域D为实数集合R.
(b)D中特定元素=0.
(c)特定函数(x,y)=xy,x,y.
(d)特定谓词(x,y):
x=y,(x,y):
x<
y,x,y.
说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:
(1)
(2)
答:
(1)对于任意两个实数x,y,如果x<
y,那么xy.真值1.
(2)对于任意两个实数x,y,如果x-y=0,那么x<
y.真值0.
10.给定解释I如下:
(a)个体域D=N(N为自然数集合).
(b)D中特定元素=2.
(c)D上函数=x+y,(x,y)=xy.
(d)D上谓词(x,y):
x=y.
说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.
(1)xF(g(x,a),x)
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)
(1)对于任意自然数x,都有2x=x,真值0.
(2)对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y,那么y+2=x.真值0.
11.判断下列各式的类型:
(3)yF(x,y).
(1)因为为永真式;
所以为永真式;
(3)取解释I个体域为全体实数
F(x,y):
x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真;
后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,]
此时为假命题
再取解释I个体域为自然数N,
:
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。
此时为假命题。
此公式为非永真式的可满足式。
13.给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。
(1)(F(x)
(2)x(F(x)G(x)H(x))
(1)个体域:
本班同学
F(x):
x会吃饭,G(x):
x会睡觉.成真解释
x是泰安人,G(x):
x是济南人.
(2)成假解释
(2)个体域:
泰山学院的学生
x出生在山东,G(x):
x出生在北京,H(x):
x出生在江苏,成假解释.
x会吃饭,G(x):
x会睡觉,H(x):
x会呼吸.成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4};
(b)为
(c).
试求下列公式在I下的真值.
(3)
12.求下列各式的前束范式。
(1)
(5)(本题课本上有错误)
(5)
15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:
(1)前提:
结论:
xR(x)
(2)前提:
x(F(x)→(G(a)∧R(x))),xF(x)
x(F(x)∧R(x))
证明
(1)
①前提引入
②F(c)①EI
③前提引入
④①③假言推理
⑤(F(c)∨G(c))→R(c))④UI
⑥F(c)∨G(c)②附加
⑦R(c)⑤⑥假言推理
⑧xR(x)⑦EG
①xF(x)前提引入
②F(c)①EI
③x(F(x)→(G(a)∧R(x)))前提引入
④F(c)→(G(a)∧R(c))③UI
⑤G(a)∧R(c)②④假言推理
⑥R(c)⑤化简
⑦F(c)∧R(c)②⑥合取引入
⑧x(F(x)∧R(x))
第六章部分课后习题参考答案
5.确定下列命题是否为真:
(1)真
(2)假
(3)真
(4)真
(5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}}真
(6){a,b}{a,b,c,{a,b}}真
(7){a,b}{a,b,{{a,b}}}真
(8){a,b}{a,b,{{a,b}}}假
6.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真:
(1){{a,b},c,}={{a,b},c}假
(2){a,b,a}={a,b}真
(3){{a},{b}}={{a,b}}假
(4){,{},a,b}={{,{}},a,b}假
8.求下列集合的幂集:
(1){a,b,c}P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
(2){1,{2,3}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
(3){}P(A)={,{}}
(4){,{}}P(A)={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}
14.化简下列集合表达式:
(1)(AB)B)-(AB)
(2)((ABC)-(BC))A
(1)(AB)B)-(AB)=(AB)B)~(AB)
=(AB)~(AB))B=B=
(2)((ABC)-(BC))A=((ABC)~(BC))A
=(A~(BC))((BC)~(BC))A
=(A~(BC))A=(A~(BC
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