23个函数与导函数类型专题Word格式文档下载.doc
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⑤
⑹总结结论
综合④和⑤式得:
.故:
的取值范围是
本题的要点:
求出的最小值或最小极限值.
特刊:
数值解析
由①式,设函数
当时,用洛必达法则得:
,则
用数值解如下:
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.2062
0.1273
0.0758
0.0422
0.0209
0.0083
0.0018
0.0000
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
0.0015
0.0055
0.0114
0.0186
0.0269
0.0359
0.0454
0.0553
其中,的最小值是,即,所以本题结果是.
2、函数第2题已知函数,,,连续,若存在均属于区间的,且,使,证明:
⑴求出函数的导函数
函数:
其导函数:
②
⑵给出函数的单调区间
由于,由②式知:
的符号由的符号决定.
当,即:
时,,函数单调递增;
时,,函数单调递减;
时,,函数达到极大值.
⑶由区间的增减性给出不等式
由均属于区间,且,得到:
,
若,则分属于峰值点的两侧
,.
所以:
所在的区间为单调递增区间,所在的区间为单调递减区间.
故,依据函数单调性,在单调递增区间有:
③
在单调递减区间有:
⑷将数据代入不等式
由①式得:
;
代入③得:
⑤
代入④式得:
⑥
⑸总结结论
结合⑤和⑥式得:
.证毕.
用导数来确定函数的单调区间,利用单调性来证明本题.
特值解析
由⑶已得:
,,且:
若:
,则:
,故:
当:
,时,
处于这两个特值之间,即:
3、函数第3题已知函数.若函数的图像与轴交于两点,线段中点的横坐标为,试证明:
.
⑴求出函数导函数
函数的定义域由可得:
导函数为:
⑵确定函数的单调区间
当,即时,,函数单调递增;
当,即时,,函数单调递减;
当,即时,,函数达到极大值.
⑶分析图像与轴的交点,求出区间
由于,
若与轴交于两点,则其极值点必须.
③
考虑到基本不等式及③式得:
结合,即:
④
⑷求出点以及关于极值点的对称点
两点分居于极值点两侧,即:
设:
,,则,且(因)
,则与处于相同得单调递减区间.
于是:
将替换成代入就得到:
⑥
⑸比较点的函数值,以增减性确定其位置
构造函数:
将⑤⑥式代入上式得:
⑦
其对的导函数为:
⑧
由于④式及,所以.
是随的增函数,其最小值是在时,即:
由⑦式得:
当时,,即:
由于和同在单调递减区间,所以由得:
或⑨
⑹得出结论
那么,由⑨式得:
.证毕.
本题的关键:
首先求得极值点,以为对称轴看的对称点就可以得到结论.具体措施是:
设点,利用函数的单调性得到
4、函数第4题已知函数.若,求的最大值.
⑴求出函数的解析式
由于和都是常数,所以设,,利用待定系数法求出函数的解析式.
其导函数为:
,,函数的解析式为:
①
⑵化简不等式
②
⑶构建新函数,并求其极值点
构建函数③
④
要使②式得到满足,必须.即:
,或的最小值等于0
故当取得极值时有:
,由④式得极值点:
此时的由③得:
⑷求的最大值
由⑤式得:
⑥
令:
,则⑥式右边为:
()
⑦
时,,单调递增;
时,,单调递减;
时,,达到极大值.
此时,的极大值为:
⑧
⑸得出结论
将⑧代入⑥式得:
的最大值为
利用已知的不等式得到关于的不等式即⑥式,然后求不等式⑥式的极值.
5、函数第5题已知函数的最小值为,其中.若对任意的,有成立,求实数的最小值.
⑴利用基本不等式求出
利用基本不等式或,得:
已知的最小值为,故,即:
或者,将的端点值代入,利用最小值为,求得
⑵用导数法求出
函数的导函数为:
当,即时,,函数达到极小值.
依题意,的最小值为,故当时,
函数的解析式为:
⑶构建新函数
当时,有,即:
则函数,即的最大值为.
实数的最小值对应于的最大值点.
⑷确定的单调区间和极值
于是由③式得导函数为:
当时,由③式得函数;
则是极值点,同时也是区间的端点.
当时,即:
从开始单调递增,直到达到的极大值,再单调递减,所以是个极小值.是个极大值,也是最大值.
⑸求出最大值点
将最值点代入③式得:
()
由的最大值为得:
此时,即:
⑹给出结论
由于,也是端点,结合⑷的结论,所以:
在区间单调递减,是个极大值,也是最大值.
由得出实数的最小值为:
实数的最小值.
本题关键:
用构建新函数代替不等式,通过求导得到极值点.
由③式,要求函数.
由③式可看出时,
,令
我们只要求出在极值点的值就好.
用洛必达法则:
对应于的,即:
6、函数第6题已知函数,(),当在一定范围时,曲线上存在唯一的点,曲线在点的切线与曲线只有一个公共点,就是点,求点的坐标.
⑴确定曲线的切线方程
曲线:
设点的坐标为:
,则切线方程为:
③
⑵构建新函数,并求导
构建函数,则切线与曲线的交点就是的零点.
则:
⑤
由②得:
,,代入⑤式得:
⑶分析时函数的单调性和极值
当时:
若,则,,故:
,单调递增;
,单调递减;
,达到极小值.
由④式得:
的极小值.
此时,的零点与点的取值有关,因此点的取值不唯一,
所以的零点就不唯一.故当时,不满足点唯一的条件.
⑷分析时函数的切线
由⑥式,的情况分两种:
a>
即:
,此时与⑵的情形相同,点的取值不唯一.
b>
,即:
此时,,即:
⑦式的解是曲线与直线的交点.
曲线恒过点,直线也恒过点,
当曲线过点的切线斜率等于时,其这个切线就是曲线的切线.
曲线过点的切线斜率为:
⑸得到切点的坐标
当时,就存在.
由于在其定义域内是凸函数,所以与其切线的交点是唯一的.
将代入①式得:
得到和,这就是点的唯一坐标.
⑹结论
切点的坐标:
本题要点:
利用图象法解超越方程⑦.
7、函数第7题已知函数,其中.在函数的图象上取定两点,,且,而直线的斜率为.存在,使成立,求的取值范围.
⑴的斜率与的导函数
由、两点的坐标得到直线的斜率:
判断是否成立,即判断是否不小于.
所以,构建函数:
,若,则成立.
导函数:
④
⑶求在区间端点的函数值
由③式得:
⑷确定的零点存在
利用基本不等式:
,当且仅当时取等号.
⑦
将⑦式应用于⑤式得:
将⑦式应用于⑥式得:
则,证明其存在性.
函数在区间是连续的,其导函数也存在.
,即函数为单调递增函数.
是单调函数,则证明其唯一性.
由和以及函数零点存在定理得,函数必过零点,且是唯一零点.
⑸求在区间的零点位置
设函数在区间的零点位置在,则有
⑦且:
⑹求在区间的
函数为单调递增函数,故:
在区间,;
在时,.
故,的区间为,即:
构建函数关系式③,由其导数得出单调性、增减性,得出零点.
8、函数第8题已知函数.证明:
当时,
证明:
⑴构建新函数,并求导
构建函数①
导函数②
函数满足,,
现在只要证明,当时,,则.
⑵化掉②式中的根号项.
要保持不等号的方向不变,只有即:
或.(代表某个不含根号的式子)
由于有和的两种选项,所以采用化掉的方法.
由均值不等式:
代入③式得:
⑶求函数的极值点
当取极值时,.
故由④式得:
令,()
则⑤式为:
分解因式法:
故有:
,及,即:
由于,所以舍掉负值,故取
所以有:
,,即:
由于
所以
函数在两个相邻极值点之间是单调的.
⑷由单调性证明不等式
,由于在区间,是单调的,故:
于是,函数在时达到极大值,然后递减,直到时达到极小值.
就是说在区间,,函数单调递减.
.证毕.
构建函数,由两个相邻极值点之间的区间是单调的,以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系,得出:
函数在这个区间为单调递减,由此来证明本题.
9、函数第9题已知,为正整数,抛物线与轴正半轴相交于点.设抛物线在点处的切线在轴上的截距为,求证:
当时,对所有都有:
⑴先求点的坐标
将,代入抛物线得:
⑵求过点的切线方程
抛物线的导数为:
故点的切线方程为:
⑶求切线在轴上的截距为
由②式,当时,.
⑷分析待证不等式
将③式代入上式得:
证明了④式,就证明了不等式
⑸数值分析
由④式
当时,;
当时,,即;
(,)
因为,对④式两边求对数得:
满足上式得:
的最小值,就是的最大值.
⑹构建新函数
,求的最大值.
求导得:
令,则.
代入⑥式得:
⑺求的最大值
虽然解方程⑦比较困难,但得到其取值范围还是可以的.
于是满足⑤式的的最大值是
⑧
⑻证明结论
满足⑧式,就满足④式,由⑷得证.
.证毕.
10、函数第10题已知函数,为的导数.设,证明:
对任意,
⑴求函数的解析式
函
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- 23 函数 类型 专题