全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷Word文档下载推荐.doc
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6.已知,,是一个三角形的三个内角,如果取得最大值,则.
7.从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数,则2017被取到的可能性为.
8.已知是正整数集合的无穷子集,满足对任何,,,,将中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为,且已知,,则.
二、解答题(本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
9.设直线:
与椭圆:
不相交.过直线上的点作椭圆的切线、,切点分别为、,联结.
(1)当点在直线上运动时,证明:
直线恒过定点;
(2)当时,定点平分线段.
10.已知函数,数列、满足,,,,.
(1)讨论数列的单调性;
(2)求证:
,.
11.
(1)求使方程
(*)
有正整数解的最大正整数.
(2)用表示方程(*)的所有正整数解()构成的集合,当为奇数时,我们称中的每一个元素为方程(*)的一个奇解;
当为偶数时,我们称中的每一个元素为方程(*)的一个偶解.证明:
方程(*)中所有奇解的个数与偶解的个数相等.
参考答案及评分标准
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.证明:
(1)设、、.则椭圆过点、的切线方程分别为
,.因为两切线都过点,则有,.
这表明、均在直线①上,由两点决定一条直线知,式①就是直线的方程,其中满足直线的方程.当点在直线上运动时,可理解为取遍一切实数,相应的为
代入①消去得②对一切恒成立,变形可得
,对一切恒成立.故有由此解得直线恒过定点.
(2)当时,由式②知,解得
代入②,得此时的方程为③将此方程与椭圆方程联立,消去得
由此可得,此时截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点的横坐标,即
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点的纵坐标,即
这就是说,点平分线段.
10.解:
(1),则
所以,,,解得.
所以当时,数列单调上升;
所以当时,数列,;
所以当时,数列单调下降。
证明:
(2)因为单调上升,计算得,,
由
(1)知
所以,(i)当,时,,故当时,
,同理,.故
(ii)当,时,由
(1)得:
.所以
,
(iii)最后,当,时,我们有,
所以
11.解:
(1)因为
所以.当时,,为方程(*)的一组正整数解,故
所求最大值为.
(2),,令与之对应,其中
,,
则,且.令
.
那么是到的双射,所以:
(表示集合中所含元素的个数).
,我们用表示中使得成立的最小下标,即:
,,.
因为,所以满足条件的正整数存在且,并记.
若,我们断言,否则,因此,于是我们有:
此不可能.所以是唯一确定的元素且.
若且时,我们断言.否则
因此.于是我们有:
由此我们证明了:
是到自身的映射且,,如果我们能够证明是满射,则也是单射,因而是双射,从而:
即:
事实上,,如果,则存在
,使得:
如果,则存在
.故是满射,结论成立.
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