圆锥曲线二轮复习全部题型总结Word格式.doc
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2)椭圆:
到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离);
3)双曲线:
到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离);
4)抛物线:
到定点与定直线距离相等.(定点不在定直线上).
二、轨迹方程
1、求曲线方程的一般步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
2、求动点轨迹方程的几种方法
(1)直接法:
(2)定义法:
(3)代入法:
(4)参数法:
(5)点差法:
典型例题
一:
直接法
此类问题重在寻找数量关系。
例1:
一条线段AB的长等于,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点M的轨迹方程?
二:
定义法
已知的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足求点C的轨迹。
2:
一动圆与圆O:
外切,而与圆C:
内切,那么动圆的圆心M的轨迹是:
A:
抛物线B:
圆C:
椭圆D:
双曲线一支
三:
参数法
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。
注意参数的取值范围。
例1.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程。
四:
代入法
例1.点B是椭圆上的动点,为定点,求线段的中点的轨迹方程.
五、点差法
例1直线(是参数)与抛物线的相交弦是,求弦的中点轨迹方程.
三、方程识别
1、平面直角坐标方程
2、参数方程
(1)圆
(2)椭圆(3)双曲线(4)抛物线
经典例题
例1、当m,n满足什么条件时,方程分别表示圆、椭圆、双曲线?
【做】例2、(2013年上海徐汇区一模18)
【理】对于直角坐标平面内的点(不是原点),的“对偶点”是指:
满足且在射线上的那个点.若是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”()
.一定共线;
.一定共圆;
.要么共线,要么共圆;
.既不共线,也不共圆.
四、圆锥曲线的概念与几何性质
注:
与共渐近线的双曲线方程-();
例1.椭圆的一个焦点是(0,2),那么k=。
变式:
1.与椭圆共焦点,且过点(3,-2)的椭圆标准方程是。
2.双曲线的渐近线为;
两渐近线夹角为。
3.过点(-6,3)且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为
4.若双曲线的一个焦点是(0,3),则k的值是。
例2.给出问题:
F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的
距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:
双曲线的实轴长为8,由
||PF1|-|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确?
若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,
将正确的结果填在下面空格内. .
五、点与圆锥曲线位置关系、最值问题
1、位置关系
①几何方法②代数方法③利用进行范围锁定
2、最值问题
①一定一动(动点在圆锥曲线上):
利用两点间的距离公式.(圆可用加减半径求解)
②两定一动(其中一定为焦点、动点在圆锥曲线上):
利用焦点转化(抛物线利用焦点与准线转换)
例1.某海域内有一孤岛.岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界),其边界是长轴长为、短轴长为的椭圆.已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为,且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上.现有船只经过该海域(船只的大小忽略不计),在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为,那么船只已进入该浅水区的判别条件是
例2.已知M是椭圆上的动点,N是圆的动点,求|MN|的最小值
例3.
(1)是椭圆上一点,是椭圆右焦点,,求的范围.
(2)是双曲线上一点,是双曲线右焦点,,求的最小值.
(3)是椭圆上一点,是椭圆右焦点,,求的最小值
六、直线与圆锥曲线位置关系、交点个数
方法一是方程的观点,即把曲线方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.方程解的个数为交点个数。
方法二是几何的观点(以双曲线为例)
直线与双曲线的位置关系:
区域①:
无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:
即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;
区域③:
2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:
即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域⑤:
即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:
过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
例1.已知直线y=kx-1与双曲线,试列出实数k需满足的不等式组,使直线与双曲线交同支于两点。
例2.过点P(3,4)与双曲线只有一个交点的直线的条数为()
A.4B.3C.2D.1
例3.若对任意kÎ
R,直线与双曲线总有公共点,则b范围。
1.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是
2.若方程x+k-=0只有一个解,则实数k的取值范围是_。
4.曲线与直线有公共点的充要条件是()
.;
.;
..
5.已知两点M(—5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|—|PN|=6,则称该直线为“B型直线”。
给出下列直线:
①;
②;
③;
④其中为“B型直线”的是(填上所有正确的序号)
6.已知双曲线方程为与点P(1,2),
(1)求过点P(1,2)的直线的斜率的取值范围,使直线与双曲线有一个交点,两个交点,没有交点。
七、直线与圆锥曲线的最值、弦长以及面积
1、到定直线的距离最值:
方法一:
作定直线的平行线与圆锥曲线相切,两平行线之间的距离为最值。
方法二:
直接利用参数方程,用点到直线的距离公式来进行解决。
2、弦长问题
若直线与二次曲线的交点为A()和B()
联立直线与二次曲线方程求出两交点两点间距离
方法二:
利用弦长公式:
=
=
方法三:
(半弦长)2=(半径)2-(圆心到直线距离)2(—只适用于圆)
注意:
椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦
3、面积
(1)、普通三角形:
(注意)
注意:
有时需要将三角形拆成两个三角形.
(2)、焦点三角形:
椭圆:
,双曲线:
例1.椭圆上的点到直线l:
的距离的最小值为___________.
1、设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值等于.
例2.经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点,若|AB|=4,
则这样的直线存在的条数为 ( )
(A)4;
(B)3;
(C)2;
(D)1
1.一直线过椭圆的左焦点,被椭圆截得的弦长为2,则直线的方程为;
2.若、为双曲线:
的左、右焦点,点在双曲线上,∠=,则到轴的距离为()
.;
.;
.;
..
八、几何意义
常涉及距离和斜率以及截距,另外方程解的问题也会涉及,通常结合圆锥曲线的图像,但要注意变量的范围。
例1.如果实数满足方程,那么的最大值为()
(A)(B)(C)(D)
1若方程x+k-=0只有一个解,则实数k的取值范围是__。
2.若关于的方程有两个不等的实数根,则实数的取值范围是_____.
九、角的大小、垂直问题
1、角:
借助向量,转化为坐标运算。
2、垂直问题:
(1)斜率乘积为-1
(2)向量数量积为0.
3、与向量有关问题:
转化为坐标运算
例1.设、分别是椭圆的左、右焦点.
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
1.直线的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
【做】2.倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点,点C是抛物线
F
A
B
C
O
准线上的动点.
(1)△ABC能否为正三角形?
(2)若△ABC是钝角三角形,求点C纵坐标的取值范围.
十、弦中点问题以及对称问题
弦中点问题:
1、韦达定理;
2、点差法.
对称问题:
垂直、平分。
2、点差法。
例1、如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是;
1、已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:
x-2y=0上,则此椭圆中为_______
例2、若抛物线上总存在关于直线对称的两点,求的范围
1.若直线L过M(-2,1),交椭圆于A、B两点,若A、B
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