排列组合部分知识总结Word文档下载推荐.doc
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分步计数原理强调各步骤之间缺一不可,需要一次完成所有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法。
2.排列与组合定义相近,它们的却别在于是否与顺序有关。
3.复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难以直接检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验。
4.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合问题的基本思想方法,要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义。
5.处理排列、组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本方法结合原理,通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。
6.运用分类计数原理时,要恰当选择分类标准,做到不重不漏。
7.运用分步计数原理时,要确定好次序,并且每一步都是独立、互不干扰的,还要注意元素是否可以重复选取。
8.对于复杂问题,可同时御用两个基本原理或借助列表、画图的方法来帮助分析。
9.在解决排列、组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质。
容易产生错误的是重复和遗漏计数
解题技巧:
1.解决排列与组合综合问题的方法和规律.
(1)排列与组合的应用题是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三条途径:
①以元素为主考虑,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
前两种方法叫直接解法,后一种方法叫间接解法.
(2)在求解排列与组合应用问题时,应注意:
①把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
②通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
③分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
④列出式子计算并作答.
2.常见的解题策略有以下几种:
(1)特殊元素优先安排的策略
(2)合理分类与准确分步的策略
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略
(4)正难则反、等价转化的策略
(5)相邻问题捆绑处理的策略
(6)不相邻问题插空处理的策略
(7)定序问题除法处理的策略
(8)分派问题直排处理的策略
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略
(10)构造模型的策略
3.解排列组合的应用题要注意以下几点:
(1)仔细审题,判断是排列问题还是组合问题。
要按元素性质分类,按事件发生的过程进行分步。
(2)深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑。
(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。
(4)由于排列组合问题答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看结果是否相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一。
知识导学:
1.分类计数原理:
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中,有种不同的方法,在第2类办法中,有种不同的方法,……在第n类办法中,有种不同的方法,那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.
2.分步计数原理:
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步,有种不同的方法,做第2步,有种不同的方法,……做第n步,有种不同的方法,那么完成这件事共有N=×
×
…×
种不同的方法.
排列数公式:
(这里m、n∈,且m≤n)
(2)组合数公式
组合数的两个性质
规定:
例l、分类加法计数原理的应用
在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
分析:
该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来计算,完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了,这件事就算完成了,因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类.
解法一:
按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,l个.
由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有8+7+6+5+4+3+2+l=36个.
解法二:
按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是l个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个,
所以按分类加法计数原理共有l+2+3+4+5+6+7+8=36个.
点评:
分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法,每一类的各种方法都是相互独立的,每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事。
解决该类问题应从简单分类讨论入手,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度考虑问题.
例2、分步乘法计数原理的应用
书架上的一格内有6本不同的书,现在再放上3本不同的书,但要保持原有书的相对顺序不变,那么所有不同的放法共有多少种?
解析:
把3本不同的书放入书架,需保持书架上原有书的相对位置不变.
完成这件事分为三个步骤,每一步各放1本.
第一步有m1=7种放法,第二步有m2=8种放法,第三步有m3=9种放法,
由分步乘法计数原理可知,共有N=m1×
m2×
m3=7×
8×
9=504种放法.
例3、两个计数原理的综合应用
有一项活动,需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加.
(l)若只需一人参加,有多少种不同方法?
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法?
(3)若需一名老师和一名同学有多少种不同选法?
(l)有三类选人的方法:
3名老师中选一人,有3种方法;
8名男同学中选一人,有8种方法;
5名女同学中选一人,有5种方法。
由分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法.
(2)分三步选人:
第一步选老师,有3种方法;
第二步选男同学,有8种方法;
第三步选女同学,有5种方法.由分步乘法计数原理,共有3×
5=120种选法.
(3)可分两类,每一类又分两步.第一类:
选一名老师再选一名男同学,有3×
8=24种选法;
第二类:
选一名老师再选一名女同学,共有3×
5=15种选法.
由分类加法计数原理,共有24+15=39种选法.
在用两个计数原理处理具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意“步”与“步”之间的连续性.
例4、排列的应用问题
六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(l)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
本题主要考查有限制条件的排列应用题的解法及分类讨论的思想和分析问题、解决问题的能力.
(l)方法一:
要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法,
根据分步乘法计数原理,共有站法480(种)
方法二:
由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法480(种)
方法三:
若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有480(种)
(2)方法一:
先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法,根据分步乘法计数原理,共有240(种)站法.
先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有240(种)
(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有种;
第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有种,故共有站法为=480(种).
也可用“间接法”,6个人全排列有种站法,由
(2)知甲、乙相邻有240种站法,所以不相邻的站法有-720-240=480(种).
(4)方法一:
先将甲、乙以外的4个人作全排列,有种,然后将甲、乙按条件插入站队,有种,故共有种站法.
先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法,最后对甲、乙进行排列,有种方法,故共有144种站法.
(5)方法一:
首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种,再让其他4人在中间位置作全排列,有种,根据分步乘法计数原理,共有种站法.
首先考虑两个特殊位置,甲、乙去站有种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有种站法,由分步乘法计数原理共有种站法.
(6)方法一:
甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有种,共有种站法.
以元素甲分类可分为两类:
①甲站右端有种,②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有种,故共有=504种站法.
例5、组合的应用问题
课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长,现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有一名女生;
2)两队长当选;
(3)至少有一名队长当选;
(4)至多有两名女生当选;
(5)既要有队长,又要有女生当选.
(l)一名女生,四名男生.故共有350(种)
(2)将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有=165(种)
(3)至少有一名队长含有两类:
只有一名队长和两名队长.故共有:
(种).
或采用间接法:
825(种)
(4)至多有两名女生含有三类:
有两
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