柯西不等式习题Word格式.doc
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(4)添项:
例4:
【1】、设,则之最小值为________;
此时________。
答案:
-18;
解析:
∴∴
之最小值为-18,此时
【2】设=(1,0,-2),=(x,y,z),若x2+y2+z2=16,则的最大值为 。
【解】
∵ =(1,0,-2),=(x,y,z) ∴ .=x-2z
由柯西不等式[12+0+(-2)2](x2+y2+z2)³
(x+0-2z)2
Þ
5´
16³
(x-2z)2 Þ
-4£
x£
4
.£
4,故.的最大值为4
【3】空间二向量,,已知,则
(1)的最大值为多少?
(2)此时?
Ans:
(1)28:
(2)(2,4,6)
【4】设a、b、c为正数,求的最小值。
121
【5】.设x,y,zÎ
R,且满足x2+y2+z2=5,则x+2y+3z之最大值为
解(x+2y+3z)2£
(x2+y2+z2)(12+22+32)=5.14=70
∴ x+2y+3z最大值为
【6】设x,y,zÎ
R,若x2+y2+z2=4,则x-2y+2z之最小值为 时,(x,y,z)=
解(x-2y+2z)2£
(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]=4.9=36
∴ x-2y+2z最小值为-6,公式法求(x,y,z)此时
∴ ,,
【7】设,,试求的最大值M与最小值m。
【8】、设,试求的最大值与最小值。
答:
根据柯西不等式
即
而有
故的最大值为15,最小值为–15。
【9】、设,试求之最小值。
考虑以下两组向量
=(2,–1,–2)=(x,y,z)根据柯西不等式,就有
将代入其中,得而有
故之最小值为4。
【10】设,,求的最小值m,并求此时x、y、z之值。
【11】设x,y,zÎ
R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为
解:
2x+2y+z+8=0 Þ
2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9,
=(,,),=(,,)
[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2£
[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].(22+22+12)
(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2³
=9
【12】设x,y,zR,若,则之最小值为________,又此时________。
Þ
2x-3(y-1)+z=(),
解析:
∴最小值
∴ ∴
【13】设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则之最小值为
()(a+b+c)
().9³
(2+3+4)2=81
³
=9
【14】、设a,b,c均为正数,且,则之最小值为________,此时________。
∴,最小值为18等号发生于故
∴ 又∴
【15】.设空间向量的方向为a,b,g,0<
a,b,g<
p,csc2a+9csc2b+25csc2g的最小值为 。
解∵ sin2a+sin2b+sin2g=2由柯西不等式
∴ (sin2a+sin2b+sin2g)[]³
(1+3+5)22(csc2a+9csc2b+25csc2g)³
81
∴ csc2a+9csc2b+25csc2g³
∴ 故最小值为
【注】本题亦可求tan2a+9tan2b+25tan2g与cot2a+9cot2b+25cot2g之最小值,请自行练习。
【16】.空间中一向量与x轴,y轴,z轴正向之夹角依次为a,b,g(a,b,g均非象限角),求的最小值。
解:
由柯西不等式
³
∵ sin2a+sin2b+sin2g=2 ∴ 2
∴ 的最小值=18
【17】.空间中一向量的方向角分别为,求的最小值。
答72利用柯西不等式解之
【18】、设x,y,zR,若,则之范围为何?
又发生最小值时,?
若又∴
∴ ∴
【19】设rABC之三边长x,y,z满足x-2y+z=0及3x+y-2z=0,则rABC之最大角是多少度?
【解】Þ
x:
y:
z=:
:
=3:
5:
7
设三边长为x=3k,y=5k,z=7k则最大角度之cosq==-,∴q=120°
【20】.设x,y,zÎ
R且,求x+y+z之最大值,最小值。
Ans最大值7;
最小值-3
∵
由柯西不等式知
[42+()2+22]³
Þ
25´
1³
(x+y+z-2)2 Þ
5³
|x+y+z-2|
-5£
x+y+z-2£
5 ∴ -3£
x+y+z£
7
故x+y+z之最大值为7,最小值为-3
【21】.求2sinq+cosqsinf-cosqcosf的最大值与最小值。
答.最大值为,最小值为-
【详解】
令向量=(2sinq,cosq,-cosq),=(1,sinf,cosf)
由柯西不等式|.|£
||||得
|2sinq+cosqsinf-cosqcosf|£
,
£
所求最大值为,最小值为-
【22】△ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为R,求证:
证明:
由三角形中的正弦定理得
,所以,同理,于是左边=
。
【23】求证:
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
证明:
设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得
(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥.
当时,取等号,由垂线段最短得d=.
【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式≤λ恒成立,求λ的范围.
解析:
由二元均值不等式及柯西不等式,得
≤
故λ的取值范围是[,+∞).
温馨提示
本题主要应用了最值法,即不等式≤λ恒成立,等价于()max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.
【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.
根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.
由柯西不等式等号成立的条件,知=λ,再由等比定理,得=λ.因此只需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×
36,当且仅当=λ时,上式等号成立.
于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±
(舍负),即.
竞赛欣赏
1(1987年CMO集训队试题)设,求证:
(2-10)
证明:
因,由定理1有
此即(2-10)式。
2设,求证:
由均值不等式得,故
即.
又由柯西不等式知,故
又由定理1,得
原式左=原式右
6
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- 关 键 词:
- 不等式 习题