椭圆和双曲线练习题及答案解析Word格式.doc
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P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
选B 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),故甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.
这是因为:
仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;
而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;
当2a<|AB|时,P点无轨迹,故甲不是乙的充分条件.
综上,甲是乙的必要不充分条件.
4.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.(3,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(3,+∞)D.(-6,-2)∪(3,+∞)
选D 由a2>a+6>0,得所以,所以a>3或-6<a<-2.
5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为( )
A.+=1B.+=1或+=1
C.+=1D.+=1或+=1
选B 由已知2c=|F1F2|=2,得c=.
由2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,得a=2.
∴b2=a2-c2=9.
故椭圆C的标准方程是+=1或+=1.
6.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )
A.(±
13,0) B.(0,±
10)C.(0,±
13) D.(0,±
)
选D 由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±
).
7.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1
选A 由椭圆的性质知,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
又∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4,∴a=.
又e=,∴c=1.∴b2=a2-c2=2,∴椭圆的方程为+=1.
8.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则( )
A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9
选D 因为椭圆+=1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆+=1的短轴长为6,
所以a2=25,b2=9.
9.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )
A. B.C.D.
选D ∵=2,∴||=2||.又∵PO∥BF,∴==,即=,∴e==.
10.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°
,则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
选B 法一:
将x=-c代入椭圆方程可解得点P-c,±
,故|PF1|=,
又在Rt△F1PF2中∠F1PF2=60°
,所以|PF2|=,根据椭圆定义得=2a,从而可得e==.
法二:
设|F1F2|=2c,则在Rt△F1PF2中,|PF1|=c,|PF2|=c.
所以|PF1|+|PF2|=2c=2a,离心率e==.
11.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1或-=1D.-=0或-=0
选C 由于焦点所在轴不确定,∴有两种情况.又∵a=5,c=7,∴b2=72-52=24.
12.已知m,n∈R,则“m·
n<0”是“方程+=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选C 若方程+=1表示双曲线,则必有m·
n<0;
当m·
n<0时,方程+=1表示双曲线.所以“m·
n<0”是“方程+=1表示双曲线”的充要条件.
13.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( )
A.B.C. D.5
选C 如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=.
14.双曲线-=1的两个焦点分别是F1,F2,双曲线上一点P到焦点F1的距离是12,则点P到焦点F2的距离是( )
A.17B.7C.7或17D.2或22
选D 依题意及双曲线定义知,||PF1|-|PF2||=10,即12-|PF2|=±
10,∴|PF2|=2或22,故选D.
15.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1 D.-=1
选A 由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,
∴a=1.又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.
16.下列双曲线中离心率为的是( )
A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1
选B 由e=得e2=,∴=,则=,∴=,即a2=2b2.因此可知B正确.
17.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是( )
A.x2-y2=8B.x2-y2=4C.y2-x2=8 D.y2-x2=4
选A 令y=0得,x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),
∴c=4,a2=c2=×
16=8,故选A.
18.(广东高考)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等
选D 由0<k<5易知两曲线均为双曲线,且焦点都在x轴上,由于16+5-k=16-k+5,所以两曲线的焦距相等.
19.双曲线+=1的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( )
A.(-10,0)B.(-12,0)C.(-3,0) D.(-60,-12)
选B 由题意知k<0,∴a2=4,b2=-k.∴e2===1-.
又e∈(1,2),∴1<1-<4,∴-12<k<0.
20.(天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:
y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1 D.-=1
选A 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线y=x与直线y=2x+10平行,
所以=2且左焦点为(-5,0),所以a2+b2=c2=25,解得a2=5,b2=20,故双曲线的方程为-=1.
二、填空题
21.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是________.
当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,c2=m-4,又2c=2,∴c=1.∴m-4=1,m=5.
当椭圆的焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,∴c2=4-m=1,∴m=3.
答案:
3或5
22.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为____________.
法一:
依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0).
从而有解得
又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的标准方程为+=1.
依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则解得b2=12或b2=-3(舍去),从而a2=16.所以椭圆C的标准方程为+=1.
+=1
23.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为__________.
资*源%库解析:
如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,.com∴×
8b=12,∴b=3.又∵c=4,∴a2=b2+c2=25.
∴椭圆的标准方程为+=1.
24.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是________________.
椭圆9x2+4y2=36可化为+=1,因此可设待求椭圆为+=1.
又b=2,故m=20,得+=1.
25.椭圆+=1的离心率为,则m=________.
当焦点在x轴上时,=⇒m=3;
当焦点在y轴上时,=⇒m=.综上,m=3或m=.
3或
26.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过P(-5,4),则椭圆的方程为__________.
∵e==,∴==,∴5a2-5b2=a2即4a2=5b2.
设椭圆的标准方程为+=1(a>0),an∵椭圆过点P(-5,4),∴+=1.解得a2=45.∴椭圆的方程为+=1.
27.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.
由点F(0,5)可知该双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16.
16
28.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是__________
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