正弦定理(二)Word下载.docx
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a<
b
两解
bsinA
无解
A为钝角或直角
a>
a≤b
知识点三 三角形面积公式
任意三角形的面积公式为:
(1)S△ABC=bcsinA=acsinB=absinC,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
(2)S△ABC=ah,其中a为△ABC的一边长,而h为该边上的高的长.
(3)S△ABC=r(a+b+c)=rl,其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.
(4)S△ABC=(其中p=).
题型一 三角形解的个数的判断
例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.
(1)a=10,b=20,A=80°
;
(2)a=2,b=6,A=30°
.
解
(1)a=10,b=20,a<
b,A=80°
<
90°
,
讨论如下:
∵bsinA=20sin80°
>
20sin60°
=10,
∴a<
bsinA,∴本题无解.
(2)a=2,b=6,a<
b,A=30°
∵bsinA=6sin30°
=3,a>
bsinA,
∴bsinA<
b,∴本题有两解.
由正弦定理得sinB===,
又∵B∈(0,π),∴B1=60°
,B2=120°
当B1=60°
时,C1=90°
,c1===4;
当B2=120°
时,C2=30°
,c2===2.
∴B1=60°
,c1=4;
B2=120°
,c2=2.
跟踪训练1
(1)满足a=4,b=3,A=45°
的三角形ABC的个数为________.
(2)△ABC中,a=x,b=2,B=45°
.若该三角形有两解,则x的取值范围是________.
答案
(1)1
(2)2<
x<
2
解析
(1)因为A=45°
,a=4>
3=b,所以△ABC的个数为一个.
(2)由asinB<
b<
a,得x<
2<
x,∴2<
2.
题型二 三角形的面积
例2 在△ABC中,若a=2,C=,cos=,求△ABC的面积S.
解 ∵cos=,∴cosB=2cos2-1=.
∴B∈(0,),∴sinB=.
∵C=,
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.
∵=,∴c==×
=.
∴S=acsinB=×
2×
×
跟踪训练2
(1)在△ABC中,若a=3,cosC=,S△ABC=4,则b=________.
(2)在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°
,则△ABC的面积等于________.
答案
(1)2
(2)或
解析
(1)∵cosC=,∴C∈(0,),
∴sinC==,
又S△ABC=absinC=·
3·
b·
=4,
∴b=2.
(2)由正弦定理得sinC===,
又∵C∈(0,π),∴C=60°
或120°
,∴A=90°
或30°
∴S△ABC=AB·
AC·
sinA=或.
题型三 正弦定理与三角变换的综合应用
例3 在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若c=+,C=30°
,求a+b的取值范围.
解 由正弦定理得===,
∵c=+,C=30°
,∴=,
A+B=180°
-30°
=150°
sin(150°
-A)=sincos+cossin,①
sinA=sincos-cossin,②
由①②得sinA+sin(150°
-A)=2sin75°
cos(75°
-A),
∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°
-A)]
=2(+)×
2sin75°
-A)
=(+)2cos(75°
-A).
当A=75°
时,(a+b)max=8+4.
∵A+B=150°
∴0°
A<
150°
,-150°
-A<
0°
∴-75°
75°
∴cos(75°
-A)∈(,1],
∴a+b>
(+)2×
=+,
∴+<
a+b≤8+4.
综上所述,a+b∈(+,8+4].
跟踪训练3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知=,且cos(A-B)+cosC=1-cos2C.试确定△ABC的形状.
解 由正弦定理==,
∴b2-a2=ab,①
∵cos(A-B)+cosC=1-cos2C,
∴cos(A-B)-cos(A+B)=1-(1-2sin2C),
∴(cosAcosB+sinAsinB)-(cosAcosB-sinAsinB)=1-1+2sin2C,
∴2sinAsinB=2sin2C,
∴c2=ab.②
①②结合得b2-a2=c2,
∴△ABC是以B为直角的直角三角形.
三角形解的个数的判断中考虑不全面致误
例4 在△ABC中,已知c=,A=,a=2,则b=__________.
错解 由正弦定理=,得
sinC==,∴C=,∴B=,
∴b==+1.
答案 +1
错因分析 求得sinC=之后,去求角C的值时,认为C为锐角,而忽略了C=π的情况,导致漏解.
正解 因为sin<
,所以本题有两解.
因为=,
所以sinC==.
所以C=或.
当C=时,B=,b==+1.
当C=时,B=,b==-1.
答案 +1或-1
误区警示 已知两边和其中一边的对角解三角形时可先由正弦定理求出另一边的对角,该角可能有两解、一解、无解三种情况,故解题时应注意讨论,防止漏解.
1.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,则角C等于( )
A.或B.C.D.
2.已知△ABC中,b=4,c=2,C=30°
,那么此三角形( )
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.解的个数不确定
3.根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )
A.a=8,b=16,A=30°
,有两解
B.a=18,b=20,A=60°
,有一解
C.a=5,b=2,A=90°
,无解
D.a=30,b=25,A=150°
4.在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若b=1,c=,C=,则a=________.
5.在△ABC中,lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA),则此三角形的形状是________.
6.在△ABC中,AB=,D为BC的中点,AD=1,∠BAD=30°
,则△ABC的面积S△ABC=________.
一、选择题
1.在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( )
A.B.C.D.
2.在△ABC中,B=45°
,C=60°
,c=1,由此得三角形最短边的长度为( )
A.B.C.D.
3.在△ABC中,A=,BC=3,则△ABC的两边AC+AB的取值范围是( )
A.[3,6]B.(2,4)C.(3,4]D.(3,6]
4.在△ABC中,A=60°
,a=,b=4,则满足条件的△ABC( )
A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )
A.,B.,C.,D.,
6.已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之和,且A,B为△ABC的两内角,a,b为角A,B的对边,则此三角形为( )
A.等腰直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.直角三角形
7.在△ABC中,∠BAC=120°
,AD为角A的平分线,AC=3,AB=6,则AD等于( )
A.2B.2或4C.1或2D.5
二、填空题
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+cos2B=________.
9.在Rt△ABC中,C=90°
,且A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是________.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=________.
三、解答题
11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若tanA=3,cosC=,
(1)求角B的大小;
(2)若c=4,求△ABC的面积.
12.在△ABC中,求证:
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,p=(2a,1),q=(2b-c,cosC),且p∥q.
(1)求sinA的值;
(2)求三角函数式+1的取值范围.
当堂检测答案
1.答案 C
解析 由正弦定理=得
sinC===,
∴C=或.
又∵AB<
BC,∴C<
A,∴C=.
2.答案 C
解析 由正弦定理和已知条件得=,
∴sinB=>
1,∴此三角形无解.
3.答案 D
解析 对A.a=bsinA,故有一解;
对B.bsinA<
b,故有两解;
对C.a>
bsinA,故有一解;
对D.A为钝角,且a>
b,故有一解.
4.答案 1
解析 由正弦定理=得=.
∵sinC=sin=,∴sinB=.
∵C=,∴B为锐角,∴B=,A=,
故a=b=1.故填1.
5.答案 直角三角形
解析 ∵lg(sinA+sinC)=lg,
∴sin2C-sin2A=sin2B,
结合正弦定理得c2=a2+b2,
∴△ABC为直角三角形.
6.答案
解析 ∵AB=,AD=1,∠BAD=30°
∴S△ABD=·
·
1·
sin30°
=,
又D是BC边中点,
∴S△ABC=2S△ABD=.
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