直线平面平行的判定及其性质Word格式.doc
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若一直线与平面内的直线平行,一定有直线与平面平行吗?
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直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与______________,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
知识点二 平面与平面平行的判定
2011年10月16日,在日本举行的世界体操锦标赛上,中国男子体操队在男团夺冠后,队长陈一冰在吊环比赛中获得冠军,这是他第四次获得世锦赛吊环冠军.吊环项目对运动员双臂力量要求很高,所有动作均由双臂支撑完成.“水平十字”是吊环的标志性动作,要求运动员在双臂支撑下,在空中将身体舒展,所形成的平面与地面平行,且身体躯干与双臂要形成“十字”形,且需静止两秒以上.在比赛中,裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行,即可判断该动作是否标准.
上述问题中给出了判断两面是平行的一种怎样的方法?
若一个平面内有两条甚至无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行吗?
位置
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的____________与另一个平面平行,则这两个平面平行
⇒α∥β
归纳升华领悟
1.直线与平面平行的判定定理在使用时要注意线在面外,这一条件易被忽视.
2.平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的.
3.面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想,即把面面平行转化为线面平行.
把握热点考向
考点一 线面平行、面面平行判定定理的理解
[例1] 下列命题真命题序号为________.
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行.
[思路点拨] 可由线面、面面平行的定义及判定定理入手分析.
[精解详析] ①错,应为一平面内两相交直线与另一平面平行;
②当两平面相交时,一面内也有无数条直线均与另一平面平行,②也不对;
③中任意直线都与另一平面平行,也有两相交直线与另一平面平行,故③为真;
④为两平面平行的判定定理,故④也为真.
[答案] ③④
[一点通] 判断或理解两个平面平行或线面平行时,一是注意每个定理成立的条件.如面面平行中强调在一个面内两相交线,线面平行中强调线在面外.
题组集训
1.能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A.b⊂α,a∥b
B.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c
C.b⊂α,A、B∈a,C、D∈b,且AC∥BD
D.a⊄α,b⊂α,a∥b
2.已知m、n表示两条直线,α、β、γ表示平面,有下列命题:
①若α∩γ=m,β∩γ=n且m∥n,则α∥β;
②若m、n相交,且都在α、β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;
③若m∥α,m∥β,则α∥β;
④若m∥α,n∥β且m∥n,则α∥β.
其中的真命题是________.
考点二 直线和平面平行的判定
[例2] 如图,P是▱ABCD所在平面外一点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:
AF∥平面PEC.
[思路点拨] 要证明线面平行,可先在平面内找到一条直线,证明它与已知直线平行.本题根据中点首先联想到中位线,即找到PC中点G,可得▱AEGF,故问题得证.
[精解详析] 设PC的中点为G,连接EG,FG.
∵F为PD的中点,∴GF∥CD且GF=CD.
∵AB∥CD,AB=CD,E为AB的中点,
∴GF∥AE,GF=AE,
∴四边形AEGF为平行四边形,∴EG∥AF.
又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,
∴AF∥平面PEC.
[一点通] 利用判定定理证明线面平行,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,由于两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知直线和交线平行,就可用线面平行的判定定理推出结论,这个证明线面平行的步骤可概括为过直线,作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.
3.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中点,求证:
BD1∥平面AEC.
4.已知空间四边形ABCD,P、Q分别是△ABC和△BCD的重心.求证:
PQ∥平面ACD.
考点三 面面平行的判定
[例3] (12分)
如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.
求证:
(1)E、F、B、D四点共面;
(2)平面MAN∥平面EFDB.
[思路点拨] 解答本题第
(1)问,只需证BD∥EF即可.第
(2)问,只需证MN∥平面EFDB,AM∥平面EFDB即可.
[精解详析]
(1)连接B1D1,
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点,
∴EF∥B1D1(2分)
而BD∥B1D1,∴BD∥EF.
∴E、F、B、D四点共面.(4分)
(2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.(5分)
又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.(7分)
连接DF,MF.∵M、F分别是A1B1,C1D1的中点,
∴MF∥A1D1,MF=A1D1.
∴MF∥AD,MF=AD.
∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.(9分)
又AM⊄平面BDFE,DF⊂平面BDFE,
∴AM∥平面BDFE.(11分)
又∵AM∩MN=M,
∴平面MAN∥平面EFDB.(12分)
[一点通] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件,特别是相交的条件,即与已知平面平行的两条直线必须相交,才能确定面面平行.
5.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:
平面MNP∥平面A1BD.
6.
如图所示,B为△ACD所在平面外一点,且BA=BC=BD,M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心.
平面MNG∥平面ACD.
方法规律小结
1.利用直线与平面平行判定定理来证明线面平行,关键是寻找面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
2.常见的面面平行的判定方法
(1)利用定义:
两个平面没有公共点.
(2)归纳为线面平行.
①平面α内的所有直线(任一直线)都平行于β,则α∥β;
②判定定理:
平面α内的两条相交直线a、b都平行于β,
⇒α∥β,五个条件缺一不可.
应用时的关键是在α内找到与β平行的相交直线a、b.
(3)化归为线线平行:
平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(证明后可用)
(4)利用平行平面的传递性:
两个平面同时和第三个平面平行,则这两个平面平行.
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