高中立体几何专题:线面角与线线角Word文档下载推荐.doc
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解析:
A1C1与AD成45°
,D1C1与AB平行,AC1与DC所成角的正切为。
(2)在正方体AC1中,过它的任意两条棱作平面,则能作得与A1B成300角的平面的个数为()
A、2个B、4个C、6个D、8个
B。
平面A1ACC1,平面BB1D1D,平面ABC1D1,平面A1D1CC1。
(3)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1底面边长是1,侧棱长是,则这个棱柱的侧
面对角线E1D与BC1所成的角是()
A.90º
B.60º
C.45º
D.30º
解析将BC1平移到E1F即可。
(4)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,BC⊥DA,那么对角线AC与BD的位置关系是。
答案:
AC⊥BD。
过A作AH⊥平面BCD,垂足为H,因为CD⊥AB,BC⊥AD,所以CD⊥BH,BC⊥DH,故H为△BCD的垂心,从而BD⊥CH,可得BD⊥AC。
A
B
C
D
P
(5)点AB到平面距离距离分别为12,20,若斜线AB与成的角,则AB的长等于_____.
16或64。
分A、B在平面α的同侧和异侧进行讨论。
例3:
如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC
=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面
PAB⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明:
BC⊥侧面PAB;
(Ⅱ)证明:
侧面PAD⊥侧面PAB;
(Ⅲ)求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小;
(Ⅰ)证:
∵侧面PAB⊥底面ABCD,且侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,在矩形ABCD中,BC⊥AB,.∴BC⊥侧面PAB.
(Ⅱ)证:
在矩形ABCD中,AD∥BC,BC⊥侧面PAB,∴AD⊥侧面PAB.又AD平面PAD,∴侧面PAD⊥侧面PAB.
(Ⅲ)解:
在侧面PAB内,过点P做PE⊥AB,垂足为E,连结EC,∵侧面PAB与底面ABCD的交线是AB,PE⊥AB,∴PE⊥底面ABCD.于是EC为PC在底面ABCD内的射影.
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在△PAB和△BEC中,易求得PE=,EC=.在Rt△PEC中,∠PCE=45°
.
例4:
设△ABC内接于⊙O,其中AB为⊙O的直径,PA⊥平面ABC。
如图求直线PB和平面PAC所成角的大小.
【练习】
1.设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成的角是 ()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
C。
连AC、BD交于O,连OE,则OE//SC.
2.如图,四面体ABCS中,SA,SB,SC两两垂直,∠SBA=45°
,∠SBC=60°
,M为AB的中点,求:
(1)BC与平面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正弦值。
(1)∵SC⊥SB,SC⊥SA,∴SC⊥平面SAB。
于是SB就是直线BC与平面SAB所成的角,为60°
。
(2)联结SM,CM,∵在Rt△SAB中,∠SBA=45°
∴SM⊥AB,∴AB⊥平面SCM。
作SH⊥CM于H,则AB⊥SH,故SH⊥平面ABC,
所以∠SCH为SC与平面ABC所成的角。
设SA=a,则SB=a,SC=,SM=。
在Rt△CSM中,,
即SC与平面ABC所成角的正弦值为。
9.A是△BCD所在平面外的点,∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°
,AB=3,AC=AD=2.
(Ⅰ)求证:
AB⊥CD;
(Ⅱ)求AB与平面BCD所成角的余弦值.
(Ⅰ)∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°
,AC=AD=2,AB=3,∴△ABC≌△ABD,BC=BD.
取CD的中点M,连AM、BM,则CD⊥AM,CD⊥BM.∴CD⊥平面ABM,于是AB⊥BD.
(Ⅱ)由CD⊥平面ABM,则平面ABM⊥平面BCD,这样∠ABM是AB与平面BCD所成的角.
在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°
,.在△ACD中,
AC=AD=2,∠CAD=60°
,∴△ACD是正三角形,AM=.在Rt△BCM中,BC=,CM=1,
.
1.垂直于同一条直线的两条直线一定()
A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能
注意空间和平面中的位置关系的不同。
2.是两两成角的三条射线,则与平面所成角的余弦值是()
α
A.B.C.D.
C。
可放入正四面中考虑。
7.已知∠ACB=900,且在平面α内,PC与CA、CB所成角
∠PCA=∠PCB=600,求PC与平面α所成角。
E
H
解:
如图过点P作PH⊥平面ABC于H,
过点H作HD⊥AC于D,作HE⊥BC于E,连PD、PE,∴PD⊥AC,PE⊥BC,
∵∠PCA=∠PCB=600,∴ΔPCD≌ΔPCE,∴CD=CE,∴ΔHCD≌ΔHCE,
∴HD=HE,∴CH平分∠ACB,设PC=a∴
∴∠PCH=450,即PC与平面α所成角为450。
3.正方体ABCD-ABCD中,点P在侧面BCCB及其边界上运动,并且总保持
AP⊥BD,则动点P的轨迹()
A、线段BCB、BB的中点与CC中点连成的线段
C、线段BCD、CB中点与BC中点连成的线段
A。
B1C⊥面BD1C1,∴P点轨迹为线段B1C。
5.一个直角三角形的两条直角边长为2和4,沿斜边高线折成直二面角,则两直角边所夹角的余弦值为_____。
CD为斜边上的高,
设
为二面角的平面角,
6.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,,
∠ADC=120º
,
⑴求证:
求异面直线AD,PB的所成角;
⑵若AB的中点为E,求二面角D-PC-E的大小。
⑴连BD,∵∠ADC=120º
,AB∥CD,∴∠DAB=60º
,又,∴
∴AD⊥BD,又∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥AD,∴AD⊥平面PDB,∴AD⊥PB,
即异面直线AD、PB的所成角为90°
⑵连DE,由已知可得△DEC为正三角形,取DC的中点F,连EF,则EF⊥CD,
∵PD⊥面ABCD,∴EF⊥PD,∴EF⊥面PCD,过F作FG⊥PC,连EG,
则∠EGF为二面角D-PC-E的平面角
设CD=a,则,在△PDC中,,则
∴∴(注:
本题用空间向量做也可)
7.
如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=a,BC=CA=AA1=a,A1在底面ABC上的射影O在AC上.
(Ⅰ)求AB与侧面AC1所成的角;
(Ⅱ)若O恰是AC的中点,求此三棱柱的侧面积.
(Ⅰ)在△ABC中,AB=,BC=AC=a,∴△ABC是等腰直角三角形,BC⊥AC,∠CAB=45°
又BC⊥A1O,故BC⊥侧面AC1,AB与侧面AC1所成角就是∠BAC=45°
(Ⅱ)由(Ⅰ)知四边形B1BCC1为矩形,中点,
于E,连结A1E,则AB⊥A1E.在Rt△AOE中,,在Rt△A1EO中,
8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(Ⅰ)当k=时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(Ⅱ)当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC中点,
,
又,PA与平面PBC所成的角的大小等于,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,∴F是O在平面PBC内的射影∵D是PC的中点,
若点F是的重心,则B,F,D三点共线,∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,
,即
反之,当时,三棱锥为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为的重心
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