倒立摆系统的建模及Matlab仿真学习资料Word格式.docx
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依照牛顿第二定律,在水平直线远动方向的惯性力应与
u平衡,于是有
M
d2z
m
d2
)
u
dt
2
2(z
即:
(Mm)zml
cos
ml2sin
①
绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡,所以有
第2页共11页
d2
lsin)lcos
mglsin
2(z
zcos
l
sincos
gsin
②
lcos
以上两个方程都是非线性方程,为求得解析解,需作线性化办理。
由于控制的目的是保持倒立摆直
立,在试驾合适的外力条件下,假设θ很小,凑近于零时合理的,则sin
cos1,且可忽略
项。
于是有
(M
m)z
ml
③
zl
g
④
联立求解可得
z
mg
1u
(Mm)
1
Ml
2.2列写系统的状态空间表达式。
采用系统变量x1,x2,x3,x4,xx1,x2,x3,x4T则
x1
x2
mgx3
x3
x4
(Mm)x3
即
d
x
1x
uAxBu
00
(M
m)g
yx11000xCx
代入数据计算获取:
A
0,B010
1T,C1000,D0
11
第3页共11页
3.设计控制器
3.1判断系统的能控性和牢固性
QkBABA2B
A3B
,rank(
k
故被控对象完好可控
Q)=4,
由特色方程
I
(2
11)
0解得特色值为
,,
。
出现大于零的特色值,故被
控对象不牢固
3.2确定希望的极点
希望的极点n=4,选其中一对为主导极点s1和s2,另一对为远极点,认为系统性能主要由主导
极点决定,远极点只有渺小影响。
依照二阶系统的关系式,先确定主导极点
pe1
0.6;
取误差带
0.02有ts
4,则n
可得
,于是取
1.67,闭环
n
主导极点为s1,2
j1
2=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离
的5倍,取s3,4
15
3.3采用状态反响方法使系统牢固并配置极点
状态反响的控制规律为u
kx,k
k0
k1
k2k3
;
状态反馈系统的状态方程为
(ABK)x
Bv,其特色多项式为
(A
BK)
4
(k1
k3)3
(k0
k2
11)2
10k1
10k0
⑤
希望特色多项式为
(
15)2(
0.8j)(
10.8j)
323
369
⑥
比较以上两式系数,解得状态反响矩阵k
第4页共11页
4.设计全维察看器
4.1判断系统的能观性
QgCATC(AT)2C(AT)3C
,rank(Qg)=4,故被控对象完好可观
4.2确定察看器的反响增益
全维察看器的动向方程为x(AGC)xBvGCx;
其特色多项式为
GC)
g0
3
(g111)
(11g0
g2)
11g1
g3)
⑦
取察看器的希望极点为:
-45,-45,-3+3j
,-3-3j
则希望特色多项式为
96
2583
13770
34650
⑧
比较以上两式系数,解得察看器反响矩阵
G
2594
1482664984T
5.降维状态察看器的设计
5.1建立倒置摆三维子系统动向方程
设小车位移z由输出传感器测量,所以无需估计,可以设计降维(三维)状态察看器,经过重新排列被控系统变量的次序,把需由降维状态察看器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量分别开。
将z作为第四个状态变量,则被控系统的状态方程和输出方程变换为
⑨
y0001
第5页共11页
A11
A12
b1
A21
A22
b2
简记为:
yy
I1x2
式中
x1z
T
,A12
000T,b1[101]T
,A11
x2zy,A21100T,A21=0,b20,I11被控系统的n-q维子系统动向方程的一般形式为
x1A11x1v,zA21x1
式中vA21yb1ub1u,zyA22yb2uyz
zz为子系统输出量。
故倒置摆三维子系统动向方程为
z100
5.2.判断子系统的可察看性
A1=[0-10;
001;
0110];
C1=[100];
Qg1=obsv(A1,C1);
r=rank(Qg1)
运行Matlab程序;
结果为r=3,故该子系统可察看
降维状态察看器动向方程的一般形式为
hA21
b1hb2u
A11hA21hA12hA22y
hy
式中h=h0h1h2
T。
考虑被控对象参数,单倒置摆降维察看器动向方程的一般形式为
h0
h02
h1
0u
h0h1
h2
y
h0h2
11h1
第6页共11页
5.3确定三维状态察看器的反响矩阵h
三维状态察看器的特色多项式为
IA11hA21
11h1
11h0h2
设希望的察看器闭环极点为-45,-3+3j,-3-3j,则希望特色多项式为
4533j33j
512
288
810
比较以上两式系数,解得h=51
299
-1371
故所求三维状态察看器的动向方程为
51
2302
13878y
1371
66632
仿真解析
6.1源程序
经过Matlab对用全维状态察看器实现状态反响的倒置摆系统进行仿真解析,下面是文件名为的源程序
%倒立摆系统建模解析
%a)判断系统能控性和能观性
clearall;
clc
A=[0100;
00-10;
0001;
00110];
B=[0;
1;
0;
-1];
C=[1000];
D=0;
Uc=ctrb(A,B);
rc=rank(Uc);
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