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1389
拟合值/g
466.6
479.9
674.4
727.3
1228.8
1339.4
相对误差/%
3.2
0.44
5.7
3.44
4.93
5.75
3.57
0.86
平均相对误差为:
3.49%
从表中的数据,我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差较小,说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。
然后,我们利用同样的思想分析鲈鱼体重与胸围的关系,其结果如下:
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表2
胸围(cm)
21.3
21.6
22.9
24.8
27.9
重量(g)
拟合值(cm)
462.1
489.7
609.3
784.1
1069.3
1428.1
相对误差(%)
4.13
1.60
7.86
6.55
6.39
2.50
7.98
2.81
4.98%
从表中的数据,我们可以看出方法二的相对误差小于方法一的相对误差,所以方法二的结果更贴近实际。
在原有的基础上,我们进而提出,鲈鱼的体重与其身长和胸围都有关系,其结果如下:
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表3
估算值(g)
740
472
1115
490
1491
616
3.25
2.12
4.05
0.42
7.37
5.58
7.87
4.0375%
根据表三的数据,可以知道模型三的拟合程度也较好,相对于模型一、二,此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响,用此模型估计鲈鱼的体重可能会更符合实际,更合适推广。
一.问题重述
11.1.基本内容
垂钓的乐趣在于修心,放生的乐趣在于养性。
一垂钓俱乐部为鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的质量给予奖励。
由于俱乐部只准备了一把用于鱼的身长和胸围的软尺,于是众垂钓者开始考虑根据测量的长度估计鱼的质量的方法,希望体味到垂钓的更大乐趣。
因此,利用应用软件以及相应的知识找到所测长度与鱼的质量的变化规律,显得尤为重要。
11.2.拟解决的问题
试从鲈鱼的实际质量和身长体重的变化特点出发,利用题中所给数据,建立鲈鱼质量分析的数学模型,并指出最佳模型及模型中存在的优缺点。
二.问题的分析
我们都知道鲈鱼的体重主要由鱼的身长、胸围决定。
一般来说,鲈鱼的胸围越大,鱼的体重会越重,身长越长,体重也越重。
但影响鲈鱼体重的因素并不唯一,我们要考虑单一变量对鱼体重的影响,即身体长度与体重的关系和胸围与体重的关系,我们要根据已知数据,利用相关软件进行模拟,来确定鲈鱼体重与身长、胸围之间的数量规律。
三.基本假设
1).假设题目中所给的数据、信息以及网上查阅的数据都是有效准确的,可以充分的说明问题;
2).假设池塘里只有一种鲈鱼,不存在其他鱼种。
3).假设池塘里鲈鱼数量众多,分布均匀,密度相同。
4).假设鲈鱼全都正常生长,没有人为因素影响鲈鱼的发育于成长。
5).假设鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。
6).鲈鱼的身长越长体重越重,体重与身长存在正相关关系;
7).鲈鱼的胸围越大体重也越重,体重与胸围存在正相关的关系;
8).鲈鱼的胸围、身长互相影响,共同作用鲈鱼的体重;
四.符号说明
鲈鱼的身长
L
鲈鱼的胸围
C
鲈鱼的体重
W
模型三的待定系数
五.模型的建立与求解
模型一:
建立鲈鱼的身长与鲈鱼的体重的模型
身长(cm)
为了研究鲈鱼身长与体重的关系,我们利用已测量的数据,取出身长及体重的数据,利用MATLAB软件画出散点图,如下:
方法一:
我们把图形可以近似看成一条抛物线,身长与体重近似成二次函数关系
通过多次拟合可得:
W=1.6247*L^2-59.3124*L+709.7392
根据拟合的函数,我们画出拟合图:
方法二:
根据散点图决定利用三次多项式拟合得到的各项系数如下:
1-803008-37262
从而得到了拟合函数:
画出拟合图如下:
模型二:
鲈鱼体重与胸围模型建立
考虑鲈鱼胸围对体重的影响,我们采用与模型一相同的方法,先画出鲈鱼体重与胸围的散点图:
从图形上看,鲈鱼体重与胸围可能成线性关系,利用多项式拟合的方法,我们得到鲈鱼体重与胸围的函数表达式:
W=92*C-1497.5
根据拟合函数,画出胸围与体重关系的拟合图:
从图形上看,大部分点分布在直线左右,我们可以近似看成二者成线性关系。
模型三.同时考虑身长和体重对鲈鱼体重的影响
题中附录此模型要用到基本假设4及即:
鲈鱼的体态用与胸围等周长,与身长等高的圆柱形来近似。
因为圆柱体的体积等于底面积乘高,底面积可以用周长表示:
.因此可以分析得出.又物体质量等于密度与体积的乘积,因此只需根据数据求出密度即可。
于是身长、胸围与体重的关系可以表示为:
,问题转化为对系数的求解。
利用MATLAB软件和已知的八组数据可以求出对应的值:
0.03030.03050.03220.03340.03260.03460.03380.0341
为了得到精确地模型对数据进行处理
0.0327
因此
六.模型检验
模型一
方法一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
拟合值(g)
方法二:
得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表:
454.4
481.4
695.5
726.6
1180.0
1377.1
5.73
0.12
6.04
6.67
1.41
5.02
1.64
3.51%
从表中的数据,我们可以看出方法一的相对误差小于方法二的相对误差,所以方法一的结果更贴近实际。
模型二
鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表
平均相对误差为:
4.98%
从表中的数据,我们可以看出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不太大。
模型三
重量估计值及相对误差
根据表三的数据,可以知道模型三的拟合程度也较好,相对于模型一、二,此模型充分考虑到了身长、胸围对体重的相互影响。
七.模型优缺点
优点:
1.模型简单,易于理解。
2.数据处理简明,计算思路清晰。
3.通过对比,结果更有说服力。
缺点:
1.模型是基于个人经验建立,可能存在误差。
2.鲈鱼实际呈梭型,看成圆柱体较为牵强。
八.模型中的程序
画两散点图的程序:
x=[36.831.843.836.832.145.135.932.1];
y=[24.821.327.924.821.631.822.921.6];
z=[76548211627374821389652454;
plot(x,z,'
*'
)
xlabel('
身长'
);
ylabel('
体重'
title('
身长与体重散点图'
plot(y,z,'
胸围'
胸围与体重散点图'
画身长与体重拟合图程序:
z=[76548211627374821389652454];
x1=[30:
0.1:
50];
z1=1.6247.*x1.^2-59.312.*x1+709.7392
x1,z1)
身长与体重拟合图'
画胸围与体重拟合图程序:
y1=[20:
40];
z1=92.*y1-1497.5;
y1,z1)
xlabe
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